Какова ожидаемая величина логарифма гамма-распределения?

Если ожидаемое значение равно , каково ожидаемое значение ? Можно ли рассчитать аналитически?$\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$$\frac{\alpha}{\beta}$$\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

Параметризация, которую я использую, является скоростью формы.

Это (может быть удивительно) может быть сделано с простыми элементарными операциями (используя любимую уловку Ричарда Фейнмана дифференцирования под знаком интеграла относительно параметра).

---

Мы предполагаем, что имеет распределение и мы хотим найти ожидание Во-первых, поскольку является параметром масштаба, его эффект будет заключаться в смещении логарифма на (Если вы используете в качестве параметра скорости , как в вопросе, он сместит логарифм на ) Это позволяет нам работать со случаем$X$$\Gamma(\alpha,\beta)$$Y=\log(X).$$\beta$log β . β - log β . β = 1.$\log\beta.$$\beta$$-\log\beta.$$\beta=1.$

После этого упрощения, вероятность элемент является$X$

$$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

где - нормализующая константа$\Gamma(\alpha)$

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$$

Подстановка которая влечет за собой дает элемент вероятности ,$x=e^y,$$\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$$Y$

$$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$$

Возможные значения теперь охватывают все действительные числа$Y$$\mathbb{R}.$

Поскольку должен интегрироваться в единицу, мы получаем (тривиально)$f_Y$

$$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$$

Обратите внимание, что является дифференцируемой функциейПростой расчет дает$f_Y(y)$$\alpha.$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$$

На следующем шаге используется отношение, полученное путем деления обеих сторон этой идентичности на тем самым обнажая сам объект, который нам нужно интегрировать, чтобы найти ожидание; а именно,$\Gamma(\alpha),$$y f_Y(y):$

$$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$$

логарифмическая производная гамма-функции (также известная как « полигамма »). Интеграл был вычислен с использованием тождества$(1).$

Повторное введение фактора показывает общий результат$\beta$

$$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$$

для параметризации шкалы (где функция плотности зависит от ) или$x/\beta$

$$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$$

для параметризации скорости (где функция плотности зависит от ).$x\beta$

Ответ @whuber довольно хорош; По сути, я перефразирую его ответ в более общей форме, которая лучше связывает (на мой взгляд) со статистической теорией и проясняет всю мощь общей методики.

Рассмотрим семейство распределений которые составляют экспоненциальное семейство , то есть они допускают плотность относительно некоторой общей доминирующей меры (обычно, меры Лебега или счетной меры). Различая обе части по мы приходим к уравнению оценки где - функция оценки$\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

$$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$$
$$\int f_\theta(x) \ dx = 1$$ $\theta$ $$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$$ $u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$и мы определили . В случае экспоненциального семейства имеем где ; иногда ее называют функцией кумулянта , поскольку она, очевидно, очень тесно связана с функцией, производящей кумулянт. Из теперь следует, что .$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ $$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$$ $A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$$(\dagger)$$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

Теперь мы покажем, что это помогает нам вычислить ожидаемое ожидание. Мы можем записать гамма-плотность с фиксированной как семейство экспонент Это экспоненциальное семейство в только с и . Из вычисления немедленно следует, что $\beta$

$$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$$ $\alpha$$s(x) = \log x$$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$ $$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$$