Нормальное распределение

Есть проблема статистики, я, к сожалению, понятия не имею, с чего начать (я учусь самостоятельно, поэтому я не могу никого спросить, если я чего-то не понимаю.

Вопрос в том

$X,Y$ iid$N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

Поскольку вы имеете дело с обычными данными IID, стоит немного обобщить вашу проблему, чтобы взглянуть на случай, когда у вас есть и вы хотите . (Ваш вопрос соответствует случаю, когда ) Как отмечали другие пользователи, сумма квадратов нормальных случайных величин IID является масштабированной нецентральной случайной величиной хи-квадрат , и поэтому можно получить интересующую дисперсию от знания этого распределения. Однако также возможно получить требуемую дисперсию, используя обычные правила моментов в сочетании со знанием моментов нормального распределения . Я покажу вам, как сделать это ниже, по шагам.$X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$$Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$$n=2$

Нахождение отклонения с использованием моментов нормального распределения: поскольку значения являются IID (и принимая за общее значение из этого распределения), у вас есть: где мы обозначаем необработанные моменты как . Эти необработанные моменты можно записать в терминах центральных моментов и среднего используя$X_1, ..., X_n$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$$\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$$\mu_1' = \mathbb{E}(X)$стандартные формулы преобразования , и мы можем затем найти центральные моменты нормального распределения и подставить их в.

Используя формулы преобразования моментов, вы должны получить: Для распределения мы имеем среднее и центральные моменты высшего порядка , и . Это дает нам необработанные моменты:

$$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$$\mu_1' = a$$\mu_2 = b^2$$\mu_3 = 0$$\mu_4 = 3 b^4$ $$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Теперь попробуйте подставить их обратно в исходное выражение, чтобы найти интересующую дисперсию.

Подстановка обратно в первое выражение дает: Для особого случая, когда вас . Можно показать, что этот результат соответствует решению, которое вы получили бы, если бы использовали альтернативный метод получения вашего результата из масштабированного нецентрального распределения хи-квадрат.

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ $n=2$$Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

Альтернативная работа, основанная на использовании нецентрального распределения хи-квадрат: Поскольку мы имеем:Используя известную дисперсию этого распределения, мы имеем: Этот результат совпадает с результатом выше.$X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$

$$\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$$ $$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$

Если и являются независимыми случайными величинами, то является случайной величиной .$X$$Y$$\text{N} (a, b^2)$$\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$$\chi ^2(2)$

Как вы думаете, вы можете взять его оттуда?

Ответ в нецентральном распределении хи-квадрат .

Например, если b = 1, ответ на ваш вопрос: , где - количество компонентов ( и ).$2(k + 2(a^2))$$k=2$$X$$Y$