Независимость статистики от гамма-распределения

Пусть - случайная выборка из гамма-распределения G a m m a ( α , β ) .$X_1,...,X_n$$\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Пусть и S 2 - выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно.$\bar{X}$$S^2$

Затем докажите или опровергните, что и S 2 / ˉ X 2 независимы.$\bar{X}$$S^2/\bar{X}^2$

---

Моя попытка: Так как , нам нужно проверить независимостьи, но как мне установить независимость между ними?$S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ ( X $\bar{X}$$\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

Есть симпатичная, простая, интуитивно понятная демонстрация для целой$\alpha.$ Он опирается только на хорошо известные свойства равномерного распределения, гамма-распределения, пуассоновских процессов и случайных величин и выглядит следующим образом:

1. Каждый - это время ожидания, пока не точки пуассоновского процесса.$X_i$$\alpha$

2. Таким образом, сумма является временем ожидания, пока не точек этого процесса. Давайте назовем эти точки n α Z 1 , Z 2 , … , Z n α$Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$$n\alpha$$Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$

3. Условно на первые точки независимо равномерно распределены между ип α - 1 0 Y $Y$$n\alpha-1$$0$$Y.$

4. Поэтому отношения независимо равномерно распределены между и В частности, их распределения не зависят от0 1. У .$Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$$0$$1.$$Y.$

5. Следовательно, любая (измеримая) функция не зависит отY $Z_i/Y$$Y.$

6. Среди таких функций: (где квадратные скобки обозначают статистику порядка ). []Z

   $$\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$$ $[]$$Z_i$

На этом этапе просто отметьте, что можно записать явно как (измеримую) функцию и, следовательно, не зависит от ˉ X = Y / n .X i /$S^2/\bar X^2$$X_i/Y$$\bar X = Y/n.$

Вы хотите доказать , что среднее и п rv.s X я / ˉ X независимы, или что то же самое , что сумма U : = Е X я и п коэффициентов W I : = X я / U независимы. Мы можем доказать несколько более общий результат, предполагая, что X i может иметь разные формы α i , но с тем же масштабом β > 0, который можно считать равным β $\bar{X}$$n$$X_i/\bar{X}$$U := \sum X_i$$n$$W_i := X_i / U$$X_i$$\alpha_i$$\beta>0$ .$\beta = 1$

$U$$\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$

$$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$$ $n$$(0, \infty)^n$
$$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$$ $\mathbf{x}$ t z U $\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$$t$$\mathbf{z}$$U$$\mathbf{W}$

Отказ от ответственности . Этот вопрос относится к теореме Лукача о пропорционально-суммовой независимости , следовательно, к статье Юджина Лукача «Характеристика гамма-распределения» . Я только что извлек здесь соответствующую часть этой статьи (а именно стр. 324) с некоторыми изменениями в обозначениях. Я также заменил использование характеристической функции преобразованием Лапласа, чтобы избежать изменений переменных, включающих комплексные числа.

Пусть . Обратите внимание, что является вспомогательной статистикой , т.е. ее распределение не зависит от . ( X i / U ) i β $U=\sum_i X_i$$(X_i /U)_i$$\beta$$\beta$

Поскольку - полная достаточная статистика , она не зависит от по теореме Басу, поэтому вывод следует.β ( X i / U ) $U$$\beta$$(X_i /U)_i$

Я не уверен в построении вспомогательной статистики, поскольку она не зависит только от , а не .$\beta$$\alpha$