Независимость статистики от гамма-распределения

9

Пусть - случайная выборка из гамма-распределения G a m m a ( α , β ) .X1,...,XnGamma(α,β)

Пусть и S 2 - выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно.X¯S2

Затем докажите или опровергните, что и S 2 / ˉ X 2 независимы.X¯S2/X¯2


Моя попытка: Так как , нам нужно проверить независимостьи, но как мне установить независимость между ними?S2/X¯2=1n1i=1n(XiX¯1)2 ( X яX¯(XiX¯)i=1n

bellcircle
источник
2
Рассмотрим преобразование Лапласа совместной суммы и вектор пропорций . Это ; вы можете показать, что это произведение функции и функции . W W i : = X i / U E { exp [ - t U - zW ] } t zU:=iXiWWi:=Xi/UE{exp[tUzW]}tz
Ив
@ Yves Не могли бы вы проверить мой ответ, опубликованный ниже?
колокольчик

Ответы:

4

Есть симпатичная, простая, интуитивно понятная демонстрация для целойα. Он опирается только на хорошо известные свойства равномерного распределения, гамма-распределения, пуассоновских процессов и случайных величин и выглядит следующим образом:

  1. Каждый - это время ожидания, пока не точки пуассоновского процесса. αXiα

  2. Таким образом, сумма является временем ожидания, пока не точек этого процесса. Давайте назовем эти точки n α Z 1 , Z 2 , , Z n α .Y=X1+X2++XnnαZ1,Z2,,Znα.

  3. Условно на первые точки независимо равномерно распределены между ип α - 1 0 Y .Ynα10Y.

  4. Поэтому отношения независимо равномерно распределены между и В частности, их распределения не зависят от0 1. У .Zi/Y, i=1,2,,nα101.Y.

  5. Следовательно, любая (измеримая) функция не зависит отY .Zi/YY.

  6. Среди таких функций: (где квадратные скобки обозначают статистику порядка ). []Zi

    X1/Y=Z[α]/YX2/Y=Z[2α]/YZ[α]/YXn1/Y=Z[(n1)α]/YZ[(n2)α]/YXn/Y=1Z[(n1)α]/Y
    []Zi

На этом этапе просто отметьте, что можно записать явно как (измеримую) функцию и, следовательно, не зависит от ˉ X = Y / n .X i / YS2/X¯2Xi/YX¯=Y/n.

Whuber
источник
3

Вы хотите доказать , что среднее и п rv.s X я / ˉ X независимы, или что то же самое , что сумма U : = Е X я и п коэффициентов W I : = X я / U независимы. Мы можем доказать несколько более общий результат, предполагая, что X i может иметь разные формы α i , но с тем же масштабом β > 0, который можно считать равным β =X¯nXi/X¯U:=XinWi:=Xi/UXiαiβ>0 .β=1

UW=[Wi]i=1n

ψ(t,z):=E{exp[tUzW}=E{exp[tiXiiziXiU]}
n(0,)n
Cstexp[(1+t)(x1++xn)z1x1++znxnx1++xn]x1α11xnαn1dx
x t z U Wy:=(1+t)xtzUW

Отказ от ответственности . Этот вопрос относится к теореме Лукача о пропорционально-суммовой независимости , следовательно, к статье Юджина Лукача «Характеристика гамма-распределения» . Я только что извлек здесь соответствующую часть этой статьи (а именно стр. 324) с некоторыми изменениями в обозначениях. Я также заменил использование характеристической функции преобразованием Лапласа, чтобы избежать изменений переменных, включающих комплексные числа.

Ив
источник
1
(+1) За статью о характеристике гамма-распределения.
StubbornAtom
1

Пусть . Обратите внимание, что является вспомогательной статистикой , т.е. ее распределение не зависит от . ( X i / U ) i β βU=iXi(Xi/U)iββ

Поскольку - полная достаточная статистика , она не зависит от по теореме Басу, поэтому вывод следует.β ( X i / U ) iUβ(Xi/U)i

Я не уверен в построении вспомогательной статистики, поскольку она не зависит только от , а не .αβα

bellcircle
источник
α