Можно ли получить PDF разности двух iid rv в виде прямоугольника (вместо, скажем, треугольника, который мы получаем, если rv взяты из равномерного распределения).
то есть возможно ли, чтобы PDF f из jk (для двух iid rv, взятых из некоторого распределения) имел f (x) = 0,5 для всех -1 <x <1?
Нет ограничений на распределение, из которого мы берем j и k, за исключением того, что min равно -1, а max равно 1.
После некоторых экспериментов я думаю, что это может быть невозможно.
random-variable
pdf
iid
Натан
источник
источник
Ответы:
Теорема: не существует распределения для которого при .Dist A - B ∼ U ( - 1 , 1 ) A , B ∼ IID Dist
Доказательство: рассмотрим две случайные величины с общей характеристической функцией . Обозначим их разность . Характерная функция разности:A , B ∼ IID Dist φ D=A−B
(Четвертая строка этой работы вытекает из того факта, что характеристическая функция является эрмитовой .) Теперь взятие дает конкретную форму для , а именно:D ∼ U ( - 1 , 1 ) φD
где последний является (ненормализованной) функцией sinc . Следовательно, чтобы удовлетворить требования для , нам требуется характеристическая функция с квадратом-нормой, определяемая как:Dist φ
Левая часть этого уравнения является квадратом и поэтому неотрицательна, тогда как правая часть является функцией, которая отрицательна в разных местах. Следовательно, нет никакого решения для этого уравнения, и поэтому нет никакой характеристической функции, удовлетворяющей требованиям для распределения. (Подсказка Фабиану за то, что он указал это в связанном вопросе на Mathematics.SE .) Следовательно, нет распределения с требованиями теоремы.■
источник
Это вопрос инженера-электрика с точки зрения, который больше подходит для dsp.SE, чем для stats.SE, но не имеет значения.
Предположим, что и - непрерывные случайные величины с общим pdf . Тогда, если обозначает , мы имеем Неравенство Коши-Шварца говорит нам, что имеет максимум при . Фактически, поскольку фактически является функцией «автокорреляции» функции рассматриваемой как «сигнал», она должна иметь уникальный максимум при и, таким образом, не может быть равномерно распределен, как требуется. В качестве альтернативы, еслиУ Р ( х ) Z Х - Y F Z ( г ) = ∫ ∞ - ∞ F ( х ) е ( х + г ) д х . f Z ( z ) z = 0 f Z f z = 0 Z f Z f Z f ZИкс Y е( х ) Z Икс- Y
Утверждение, что , очевидно , когда общее распределение и содержит атомы, поскольку в таком случае распределение также будет содержать атомы. Я подозреваю, что ограничение на то, что и имеют pdf, может быть снято, и чисто теоретико-мерное доказательство построено для общего случая, когда и не обязательно пользуются pdf (но их различие есть).X Y Z X Y X YеZ∼ U[ - 1 , 1 ] Икс Y Z Икс Y Икс Y
источник