Единый PDF разницы двух рв

Можно ли получить PDF разности двух iid rv в виде прямоугольника (вместо, скажем, треугольника, который мы получаем, если rv взяты из равномерного распределения).

то есть возможно ли, чтобы PDF f из jk (для двух iid rv, взятых из некоторого распределения) имел f (x) = 0,5 для всех -1 <x <1?

Нет ограничений на распределение, из которого мы берем j и k, за исключением того, что min равно -1, а max равно 1.

После некоторых экспериментов я думаю, что это может быть невозможно.

Теорема: не существует распределения для которого при .$\text{Dist}$$A-B \sim \text{U}(-1,1)$$A, B \sim \text{IID Dist}$

---

Доказательство: рассмотрим две случайные величины с общей характеристической функцией . Обозначим их разность . Характерная функция разности:$A, B \sim \text{IID Dist}$$\varphi$$D=A-B$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

(Четвертая строка этой работы вытекает из того факта, что характеристическая функция является эрмитовой .) Теперь взятие дает конкретную форму для , а именно:$D \sim \text{U}(-1,1)$$\varphi_D$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

где последний является (ненормализованной) функцией sinc . Следовательно, чтобы удовлетворить требования для , нам требуется характеристическая функция с квадратом-нормой, определяемая как:$\text{Dist}$$\varphi$

$$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$$

Левая часть этого уравнения является квадратом и поэтому неотрицательна, тогда как правая часть является функцией, которая отрицательна в разных местах. Следовательно, нет никакого решения для этого уравнения, и поэтому нет никакой характеристической функции, удовлетворяющей требованиям для распределения. (Подсказка Фабиану за то, что он указал это в связанном вопросе на Mathematics.SE .) Следовательно, нет распределения с требованиями теоремы. $\blacksquare$

Это вопрос инженера-электрика с точки зрения, который больше подходит для dsp.SE, чем для stats.SE, но не имеет значения.

Предположим, что и - непрерывные случайные величины с общим pdf . Тогда, если обозначает , мы имеем Неравенство Коши-Шварца говорит нам, что имеет максимум при . Фактически, поскольку фактически является функцией «автокорреляции» функции рассматриваемой как «сигнал», она должна иметь уникальный максимум при и, таким образом, не может быть равномерно распределен, как требуется. В качестве альтернативы, еслиУ Р ( х ) Z Х - Y F Z ( г ) = ∫ ∞ - ∞ F ( х ) е ( х + г ) д х . f Z ( z ) z = 0 f Z f z = 0 Z f Z f Z f $X$$Y$$f(x)$$Z$$X-Y$

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$$ $f_Z(z)$$z=0$$f_Z$$f$$z=0$$Z$ $f_Z$если бы действительно была однородная плотность (помните, что это также автокорреляционная функция), то «спектральная плотность мощности» (рассматриваемой как сигнал) будет функцией sinc, и, следовательно, не будет неотрицательной функцией, поскольку все спектральные плотности мощности должны быть , Следовательно, предположение о том, что является равномерной плотностью, приводит к противоречию, поэтому предположение должно быть ложным.$f_Z$$f_Z$

Утверждение, что , очевидно , когда общее распределение и содержит атомы, поскольку в таком случае распределение также будет содержать атомы. Я подозреваю, что ограничение на то, что и имеют pdf, может быть снято, и чисто теоретико-мерное доказательство построено для общего случая, когда и не обязательно пользуются pdf (но их различие есть).X Y Z X Y X $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$X$$Y$