Какова нормальная аппроксимация полиномиального распределения?

Ответы:

21

Вы можете аппроксимировать его многомерным нормальным распределением так же, как биномиальное распределение аппроксимируется одномерным нормальным распределением. Проверьте элементы теории распределения и полиномиального распределения страницы 15-16-17.

Пусть - вектор ваших вероятностей. Тогда средний вектор многомерного нормального распределения равен . Ковариационная матрица является симметричной матрицей. Диагональные элементы на самом деле являются дисперсией ; то есть , . Недиагональный элемент в i-й строке и j-м столбце имеет вид , где не равно .P=(p1,...,pk)np=(np1,np2,...,npk)k×kXinpi(1pi)i=1,2...,k i jCov(Xi,Xj)=npipjij

Stat
источник
1
Проверьте 2-й справочник.
Стат
3
Стат, чтобы этот ответ мог стоять сам по себе (и быть устойчивым к гниению ссылок), не могли бы вы дать краткое изложение решения?
whuber
4
Нужно ли исправление непрерывности? Как бы вы применили это?
Джек Эйдли
2
Ковариационная матрица не является положительно определенной, а скорее положительной, полуопределенной и не является полноценной. Это делает результирующее мультинормальное распределение неопределенным. Это проблема, с которой я столкнулся. Есть идеи, как с этим справиться?
Мохаммад Алагган
2
@ M.Alaggan: Матрицы среднего значения / ковариации, определенные здесь, имеют одну незначительную проблему: для полиномиального распределения с переменными эквивалентная многомерная норма имеет переменную. Это очевидно в простом биномиальном примере, который аппроксимируется (обычным) нормальным распределением. Для дальнейшего обсуждения см. Пример 12.7 Элементов Теории Распределения . kk1
MS Dousti
1

Плотность, приведенная в этом ответе, является вырожденной, и поэтому я использовал следующее для вычисления плотности, полученной в результате нормального приближения:

Есть теорема, в которой говорится, что заданная случайная величина , для мерного вектора с и , это;X=[X1,,Xm]TMultinom(n,p)mpipi=1iXi=n

Xdndiag(u)Q[Z1Zm10]+[np1npm],

для большого дано;n

  • вектор с ;uui=pi
  • случайные величины для и;ZiN(0,1)i=1,,m1
  • ортогональная матрица с последним столбцом .Qu

То есть, с некоторой перестановкой, мы можем разработать мерное многомерное нормальное распределение для первых компонент (которые являются только интересными компонентами , поскольку является суммой остальных).m1m1XXm

Подходящим значением матрицы является с - то есть конкретным преобразованием Домохозяина.QI2vvTvi=(δimui)/2(1um)

Если мы ограничим левую часть первыми строками и ограничим его первыми строками и столбцами (обозначим эти и соответственно), то:m1Qm1m1X^Q^

X^dndiag(u^)Q^[Z1Zm1]+[np1npm1]N(μ,nΣ),

для больших , где;n

  • u^ обозначает первые члены ;m1u
  • среднее значение равно и;μ=[np1,,npm1]T
  • ковариационная матрица с .nΣ=nAATA=diag(u^)Q^

Правая часть этого окончательного уравнения - невырожденная плотность, используемая в расчете.

Как и ожидалось, когда вы подключаете все, вы получаете следующую ковариационную матрицу:

(nΣ)ij=npipj(δijpipj)

для , что является именно ковариационной матрицей в оригинальном ответе ограничивается его первых строки и столбцов.i,j=1,,m1м - 1 м - 1m1m1

Эта запись в блоге была моей отправной точкой.

stephematician
источник
1
Другим полезным ресурсом являются ссылки, представленные по адресу
сводный врач
1
Хороший ответ (+1) --- Обратите внимание, что вы можете вставлять ссылки с синтаксисом [textual description](hyperlink). Я позволил себе отредактировать этот ответ, чтобы встроить ваши ссылки.
Бен - Восстановить Монику