Какова нормальная аппроксимация полиномиального распределения?

Если есть несколько возможных приближений, я ищу самый основной.

Вы можете аппроксимировать его многомерным нормальным распределением так же, как биномиальное распределение аппроксимируется одномерным нормальным распределением. Проверьте элементы теории распределения и полиномиального распределения страницы 15-16-17.

Пусть - вектор ваших вероятностей. Тогда средний вектор многомерного нормального распределения равен . Ковариационная матрица является симметричной матрицей. Диагональные элементы на самом деле являются дисперсией ; то есть , . Недиагональный элемент в i-й строке и j-м столбце имеет вид , где не равно .$P=(p_1,...,p_k)$$np=(np_1,np_2,...,np_k)$$k \times k$$X_i$$np_i(1-p_i)$$i=1,2...,k$ i $\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$$i$$j$

Плотность, приведенная в этом ответе, является вырожденной, и поэтому я использовал следующее для вычисления плотности, полученной в результате нормального приближения:

Есть теорема, в которой говорится, что заданная случайная величина , для мерного вектора с и , это;$X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$$m$$p$$\sum_i p_i = 1$$\sum_i X_i = n$

$$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$$

для большого дано;$n$

• вектор с ;$u$$u_i = \sqrt{p_i}$
• случайные величины для и;$Z_i \sim N(0,1)$$i = 1, \ldots, m-1$
• ортогональная матрица с последним столбцом .$Q$$u$

То есть, с некоторой перестановкой, мы можем разработать мерное многомерное нормальное распределение для первых компонент (которые являются только интересными компонентами , поскольку является суммой остальных).$m-1$$m-1$$X$$X_m$

Подходящим значением матрицы является с - то есть конкретным преобразованием Домохозяина.$Q$$I - 2 v v^T$$v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

Если мы ограничим левую часть первыми строками и ограничим его первыми строками и столбцами (обозначим эти и соответственно), то:$m-1$$Q$$m-1$$m-1$$\hat{X}$$\hat{Q}$

$$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$$

для больших , где;$n$

• $\hat{u}$ обозначает первые члены ;$m-1$$u$
• среднее значение равно и;$\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
• ковариационная матрица с .$n \Sigma = n A A^T$$A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

Правая часть этого окончательного уравнения - невырожденная плотность, используемая в расчете.

Как и ожидалось, когда вы подключаете все, вы получаете следующую ковариационную матрицу:

$$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$$

для , что является именно ковариационной матрицей в оригинальном ответе ограничивается его первых строки и столбцов.$i,j = 1, \ldots, m-1$м - 1 м - 1$m-1$$m-1$

Эта запись в блоге была моей отправной точкой.