Я ищу предельное распределение полиномиального распределения по результатам d. IE, распределение следующее
Где - случайная величина векторного значения с плотностью для такой, что , и 0 для всех остальных , где
Я нашел одну форму в теореме Ларри Вассермана «Вся статистика» 14.6, стр. 237, но для ограничения распределения он дает Normal с сингулярной ковариационной матрицей, поэтому я не уверен, как это нормализовать. Вы можете проецировать случайный вектор в (d-1) -мерное пространство, чтобы сделать ковариационную матрицу полноценной, но какую проекцию использовать?
Обновление 11/5
Рэй Купман имеет хорошее резюме проблемы сингулярного Гаусса. По сути, сингулярная ковариационная матрица представляет собой идеальную корреляцию между переменными, которую невозможно представить с помощью гауссиана. Однако можно получить гауссовское распределение для условной плотности, обусловленное тем, что значение случайного вектора является действительным (компоненты складываются в в случае выше).
Разница для условного гауссова в том, что обратное заменяется псевдообратным, а коэффициент нормализации использует «произведение ненулевых собственных значений» вместо «произведение всех собственных значений». Ян Фрис дает ссылку с некоторыми подробностями.
Есть также способ выразить коэффициент нормализации условного гауссова без ссылки на собственные значения, вот вывод
источник
Ответы:
Ковариация все еще неотрицательно определена (как и действительное многомерное нормальное распределение ), но не положительно определена: это означает, что (по крайней мере) один элемент случайного вектора является линейной комбинацией других.
В результате любой вывод из этого распределения всегда будет лежать в подпространстве . Как следствие, это означает, что невозможно определить функцию плотности (поскольку распределение сконцентрировано на подпространстве: подумайте о том, как одномерная норма сконцентрируется на среднем значении, если дисперсия равна нулю).рd
Однако, как предполагает Робби МакКиллиам, в этом случае вы можете отбросить последний элемент случайного вектора. Ковариационная матрица этого уменьшенного вектора будет исходной матрицей с опущенным последним столбцом и строкой, которая теперь будет положительно определенной и будет иметь плотность (этот прием будет работать в других случаях, но вы должны быть осторожны, какой элемент вы отбрасываете, и вам может понадобиться отбросить более одного).
источник
Здесь нет врожденной проблемы с единственной ковариацией. Ваше асимптотическое распределение является сингулярной нормалью. См. Http://fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/tutorials/mvahtmlnode34.html, в котором приведена плотность единственного нормаля.
источник
Мне кажется, что ковариационная матрица Вассермана является сингулярной, чтобы увидеть, умножить ее на вектор из , т.е. [ 1 , 1 , 1 , … , 1 ] ′ длины d .d [ 1 , 1 , 1 , … , 1 ]' d
Википедия в любом случае дает одну и ту же ковариационную матрицу. Если мы ограничимся только биномиальным распределением, то стандартная центральная предельная теорема говорит нам, что биномиальное распределение (после соответствующего масштабирования) сходится к нормальному, когда становится большим (см. Википедию снова ). Применяя аналогичные идеи, вы должны показать, что надлежащим образом масштабированный многочлен будет сходиться по распределению к многомерной нормали, т.е. каждое предельное распределение является просто биномиальным и сходится к нормальному распределению, и дисперсия между ними известна.N
Итак, я очень уверен, что вы обнаружите, что распределение
источник
источник