Если и являются независимыми нормальными переменными, каждая из которых имеет среднее значение ноль, то также является нормальной переменной

Я пытаюсь доказать утверждение:

Если и являются независимыми случайными величинами,$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$$Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

затем также является нормальной случайной величиной.$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Для особого случая (скажем) у нас есть известный результат, который всякий раз, когда и являются независимыми переменными. На самом деле общеизвестно, что являются независимыми переменными .$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$$X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

Доказательство последнего результата следует с помощью преобразования где и . Действительно, здесь и . Я пытался подражать этому доказательству для рассматриваемой проблемы, но это, кажется, становится грязным.$(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$$u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$$V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

Если я не сделал никакой ошибки, то для я получаю плотность соединения как$(u,v)\in\mathbb{R}^2$$(U,V)$

У меня есть множитель выше, так как преобразование не один к одному.$2$

Таким образом, плотность будет определяться как , что сложно оценить.∫ R f U , V ( u , v $U$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Теперь мне интересно узнать, есть ли доказательство того, что я могу работать только с и не нужно рассматривать некоторые чтобы показать, что является нормальным. Поиск CDF не выглядит для меня так многообещающе. Я также хотел бы сделать то же самое для случая .V U U σ 1 = σ 2 = $U$$V$$U$$U$$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

То есть, если и являются независимыми переменными я хочу показать, что без использования замены переменных. Если как-то я могу утверждать, что , то я закончил. Итак, два вопроса здесь, общий случай, а затем частный случай.Y N ( 0 , σ 2 ) Z = 2 X $X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$Zd=$Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$Z\stackrel{d}{=}X$

Похожие посты на Math.SE:

Х,Y~N(0,1$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ когда независимо$X,Y\sim N(0,1)$ .

Учитывая, что iid , покажите, что - этоN ( 0 , 1 ) X $X,Y$$N(0,1)$ N(0,$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$N(0,\frac{1}{4})$ .

Редактировать.

Эта проблема на самом деле связана с Л. Шеппом, как я выяснил в упражнениях Феллера « Введение в теорию вероятностей и ее приложения» (том II), с возможной подсказкой:

Конечно, и у меня есть плотность под рукой.$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$$\frac{1}{X^2}$

Давайте посмотрим, что я мог сделать сейчас. Помимо этого, небольшая помощь с интегралом выше также приветствуется.

Первоначальное решение проблемы Шеппом использует концепцию стабильного права собственности, которая кажется мне несколько продвинутой в данный момент. Поэтому я не мог понять подсказку, приведенную в упражнении, которое я привел в своем посте. Я предполагаю, что до доказательства, включающего только одну переменную и не использующего замены переменных, сложно придумать. Итак, я поделился тремя документами открытого доступа, которые нашли альтернативное решение проблемы:$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

• Примечание о нормальных функциях нормальных случайных величин

• Нормальные функции нормальных случайных величин

• Результат Шеппа

Первый один убедил меня не идти по пути интеграции , я взял с этим выбором переменной , чтобы получить плотность . Это третий документ, который выглядит как то, что я могу следовать. Я даю краткий набросок доказательства здесь:$V$$U$

Мы предполагаем без ограничения общности и устанавливаем . Теперь, заметив, что и независимы, мы имеем объединенную плотность , Обозначим это через .$\sigma_1^2=1$$\sigma_2^2=\sigma^2$$X^2\sim\chi^2_1$$\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$$(X^2,Y^2)$$f_{X^2,Y^2}$

Рассмотрим преобразование такое, что и . Таким образом, мы имеем плотность соединения . Обозначим это через . После стандартной процедуры мы интегрировать WRT , чтобы , чтобы получить предельную плотность из .$(X^2,Y^2)\to(W,Z)$$W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$$Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$$(W,Z)$$f_{W,Z}$$f_{W,Z}$$z$$f_W$$W$

Мы находим, что является гамма-переменной с параметрами и , так что . Отметим, что плотность симметрична относительно . Это означает, что и, следовательно, .$W=U^2$$\frac{1}{2}$$2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$$(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$$U$$0$$(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$$U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

согласно этому

Преобразование двух нормальных случайных величин

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$ . и являются независимыми и являются независимыми.
$X$$Y$$\Leftrightarrow$ $\theta$$r$

также что поскольку $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$$f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$$z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

аналогично для других.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

так что мы можем показать:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ и$Y=\sigma r \sin(\theta)$

так

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

показать независимость

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$ и легко сказать, что они независимы.