Каково интуитивное значение подключения случайной величины к ее собственному pdf или cdf?

PDF обычно пишется как , где строчная буква рассматривается как реализация или результат случайной величины которая имеет этот pdf. Аналогично, cdf записывается как , что имеет значение . Однако в некоторых обстоятельствах, таких как определение функции оценки и такой вывод, что cdf распределен равномерно , кажется, что случайная величина вставляется в ее собственный pdf / cdf; тем самым мы получаем новую случайную величину или$f(x|\theta)$$x$$X$$F_X(x)$$P(X<x)$$X$ $Y=f(X|\theta)$$Z=F_X(X)$, Я не думаю, что мы можем больше называть это pdf или cdf, поскольку теперь это сама случайная переменная, и в последнем случае «интерпретация» кажется мне чепухой.$F_X(X)=P(X<X)$

Кроме того, в последнем случае, описанном выше, я не уверен, что понимаю утверждение «cdf случайной величины следует за равномерным распределением». Cdf является функцией, а не случайной величиной, и поэтому не имеет распределения. Скорее, то, что имеет равномерное распределение, - это случайная величина, преобразованная с использованием функции, которая представляет свой собственный cdf, но я не понимаю, почему это преобразование имеет смысл. То же самое относится и к функции оценки, где мы вставляем случайную переменную в функцию, которая представляет ее собственную логарифмическую вероятность.

Я неделями ломал свой мозг, пытаясь придать интуитивное значение этим трансформациям, но я застрял. Любое понимание будет с благодарностью!

Как вы говорите, любая (измеримая) функция случайной величины сама является случайной величиной. Проще думать о и F ( x ) как о «любой старой функции». У них просто есть хорошие свойства. Например, если X - стандартная экспоненциальная RV, то в случайной переменной Y = 1 - e - X нет ничего особенно странного. Так уж получилось, что Y = F X ( X ) . Тот факт, что Y имеет равномерное распределение (учитывая, что $f(x)$$F(x)$$X$

$$Y = 1 - e^{-X}$$ $Y=F_X(X)$$Y$$X$является непрерывным ПЖ) можно видеть , в общем случае путем получения CDF из .$Y$

$$\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(F_X(X) \leq y) \\ &= P(X \leq F^{-1}_X(y)) \\ &= F_X(F^{-1}_X(y)) \\ &= y \end{align*}$$

Что явно является CDF случайной величины. Примечание. В этой версии доказательства предполагается, что F X ( x ) строго возрастает и непрерывно, но не намного сложнее показать более общую версию.$U(0,1)$$F_X(x)$

Преобразование случайной величины с помощью измеримой функции Т : Х ⟶ У еще одна случайная величина Y = Т ( Х ) , которое распределение задается посредством обратного преобразования вероятности P ( Y ∈ A ) = P ( X ∈ { х $X$$T:\mathcal{X}\longrightarrow\mathcal{Y}$$Y=T(X)$ для всех множеств A, таких что { x

$$\mathbb{P}(Y\in A) = \mathbb{P}(X\in\{x;\,T(x)\in A\})\stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{P}(X\in T^{-1}(A))$$ $A$ измеримо при распределении X .$\{x;\,T(x)\in A\}$$X$

Это свойство применяется к особому случаю, когда - это cdf случайной величины X : Y = F X ( X ) - новая случайная величина, принимающая свои реализации в [ 0 , 1 ] . Как это бывает, Y распределяется как равномерный U ( [ 0 , 1 ] ), когда F X непрерывен. (Если F $F_X:\mathcal{X}\longrightarrow[0,1]$$X$$Y=F_X(X)$$[0,1]$$Y$$\mathcal{U}([0,1])$$F_X$$F_X$прерывистый, диапазон больше не [ 0 , 1 ] . То , что всегда имеет место в том , что , когда U является Равномерное U ( [ 0 , 1 ] ) , то Р - Х ( U ) имеет такое же распределение, что и X , где Р - Х обозначает обобщенную обратную F X . Что является формальным способом (а) понимать случайные величины как измеримые преобразования фундаментального$Y=F_X(X)$$[0,1]$$U$$\mathcal{U}([0,1])$$F_X^{-}(U)$$X$$F_X^{-}$$F_X$ поскольку X ( ω ) = F - X ( ω ) является случайной величиной с cdf F X и (b)генерирует случайные величиныиз заданного распределения с cdf F X. )$\omega\in\Omega$$X(\omega)=F_X^{-}(\omega)$$F_X$$F_X$

Чтобы понять парадокс , возьмем представление F X ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ x 0 d F X ( x ) = ∫ x 0 f X ( x $\mathbb{P}(X\le X)$ если d λ - доминирующая мера, а f X - соответствующая плотность. Тогда F X ( X ) = ∫ X 0 d F X ( x ) = ∫ X 0 f X ( x

$$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_0^x \text{d}F_X(x) = \int_0^x f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$$ $\text{d}\lambda$$f_X$ - случайная величина, поскольку верхняя граница интеграла является случайной. (Это единственная случайная часть выражения.) Кажущееся противоречие в P ( X ≤ X ) связано с путаницей в обозначениях. Для правильного определения необходимы две независимые версии случайной величины X , X 1 и X 2 , и в этом случае случайная величина F X ( X 1 ) определяется как F X ( X 1 ) = P X $$F_X(X)=\int_0^X \text{d}F_X(x) = \int_0^X f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$$ $\mathbb{P}(X\le X)$$X$$X_1$$X_2$$F_X(X_1)$ вероятность, вычисляемая для распределения X 2 . $$F_X(X_1)=\mathbb{P}^{X_2}(X_2\le X_1)$$ $X_2$

$f_X(X)$$f_X$$f_X(X|\hat{\theta}(X))/f_X(X|\theta_0)$$\chi^2$

$$\dfrac{\partial \log f_X(X|\theta)}{\partial \theta}$$ $\theta$ $$\mathbb{E}_{\theta_0}\left[ \dfrac{\partial \log f_X(X|\theta_0)}{\partial \theta}\right]=\int \dfrac{\partial \log f_X(x|\theta_0)}{\partial \theta}f_X(x|\theta_0)\,\text{d}\lambda(x)=0$$

[Ответ печатался, пока @whuber и @knrumsey печатали свои соответствующие ответы!]