Что это означает с -алгеброй, порожденной случайной величиной?

Часто в ходе моего (самостоятельного) изучения статистики я встречал терминологию « -algebra, порожденная случайной величиной». Я не понимаю определения в Википедии , но самое главное, я не понимаю интуицию. Почему / когда нам нужны алгебры, порожденные случайными величинами? В чем их смысл? Я знаю следующее:$\sigma$$\sigma-$

• - алгебра на множестве является непустым семейством подмножеств , которая содержит , замкнуто относительно дополнения и под счетным объединением.$\sigma$$\Omega$$\Omega$$\Omega$
• мы вводим -алгебры для построения вероятностных пространств на бесконечных выборочных пространствах. В частности, если неисчислимо бесконечно, мы знаем, что могут существовать неизмеримые подмножества (множества, для которых мы не можем определить вероятность). Таким образом, мы не можем просто использовать набор мощности качестве нашего набора событий . Нам нужен меньший набор, который все еще достаточно велик, чтобы мы могли определить вероятность интересных событий, и мы можем говорить о сходимости последовательности случайных величин.$\sigma$$\Omega$$\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$$\mathcal{F}$

Короче говоря, я думаю, что у меня есть честное интуитивное понимание$\sigma-$ . Я хотел бы иметь подобное понимание для $\sigma-$ алгебр, порожденных случайными переменными: определение, зачем они нам нужны, интуиция, пример ...

Рассмотрим случайную величину $X$ . Мы знаем, что $X$ есть не что иное, как измеримая функция из $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ в $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ , где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ - борелевские множества вещественной прямой. По определению измеримости мы знаем, что имеем

Но на практике прообразы борелевских множеств могут быть не полностью $\mathcal{A}$ а вместо этого они могут составлять гораздо более грубое его подмножество. Чтобы увидеть это, давайте определимся

Используя свойства прообразов, нетрудно показать, что $\mathcal{\Sigma}$ является сигма-алгеброй. Из этого также сразу следует, что $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , следовательно, $\mathcal{\Sigma}$ является суб-сигма-алгеброй. Далее, по определениям легко видеть, что отображение $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ измеримо. $\mathcal{\Sigma}$ на самом деле является самой маленькой сигма-алгеброй, которая делает $X$ случайной величиной, так как все другие сигма-алгебры такого типа, по крайней мере, включают $\mathcal{\Sigma}$, По той причине , что мы имеем дело с прообразов случайной величины $X$ , мы называем $\mathcal{\Sigma}$ сигма-алгебра , индуцированный случайной величины $X$ .

Вот крайний пример: рассмотрим постоянную случайную величину $X$ , то есть $X(\omega) \equiv \alpha$ . Тогда $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ равна либо $\Omega$ , или $\varnothing$ в зависимости от того , $\alpha \in B$ . Сигма-алгебра , таким образом , генерируется тривиально и , как таковой, он, безусловно , включены в $\mathcal{A}$ .

Надеюсь это поможет.