Имеет ли

Имеет ли подразумевает независимость X и Y ?$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$$X$$Y$

Я знаком только со следующим определением независимости между и Y .$X$$Y$

$$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$$

Начнем с интуиции. Наклон обычной регрессии наименьших квадратов против ч ( X ) , для любой функции ч , пропорциональна ковариации ч ( X ) и Y . Предполагается, что все регрессии все нулевые (не только линейные). Если вы представляете ( X , Y ), представленное облаком точек (на самом деле, облаком плотности вероятности), то независимо от того, как вы разрежете его по вертикали и измените порядок срезов (который выполняет отображение $Y$$h(X)$$h$$h(X)$$Y$$(X,Y)$$h$), регрессия остается нулевой. Это подразумевает, что условные ожидания (которые являются функцией регрессии) являются постоянными. Мы могли бы обойтись без условных распределений , сохраняя ожидания постоянными, тем самым разрушая любые шансы на независимость. Поэтому следует ожидать, что заключение не всегда верно.$Y$

Есть простые контрпримеры. Рассмотрим примерное пространство из девяти абстрактных элементов и дискретную меру с вероятностью, определяемой как

$$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$$

$$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$$

Определим

$$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$$

Мы могли бы отобразить эти вероятности в виде массива

$$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$$

(со всеми записями , умноженной на ) , индексированных в обоих направлениях по значениям - 1 , 0 , 1 .$1/10$$-1,0,1$

Предельные вероятности и F Y ( - 1 ) = F Y ( 1 ) = 4 / 10

$$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$$ как вычислено сумм столбцов и строк сумм массива, соответственно. Так как F X ( 0 ) ф Y ( 0 ) = ( 4 / 10 ) ( 2 / 10 ) ≠ 0 = P ( ω 0 , 0 ) = ф X Y ( 0 , 0 ) , эти переменные не являются независимыми. $$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$$ $$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$$

Это было построено, чтобы сделать условное распределение когда X = 0, отличным от других условных распределений для X = ± 1 . Это можно увидеть, сравнив средний столбец матрицы с другими столбцами. Симметрия в координатах Y и во всех условных вероятностях сразу показывает, что все условные ожидания равны нулю, откуда все ковариации равны нулю, независимо от того, как связанные значения X могут быть переназначены столбцам.$Y$$X=0$$X=\pm 1$$Y$$X$

$27$