«Абсолютно непрерывная случайная величина» против «Непрерывная случайная величина»?

13

В книге Валентина В. Петрова «Предельные теоремы теории вероятностей» я увидел различие между определениями «непрерывного» и «абсолютно непрерывного», которое сформулировано следующим образом:

X P ( X B ) = 0 B P ( X B ) = 0 B() "... Распределение случайной величины называется непрерывным, если для любого конечного или счетного множества точек вещественной линии. быть абсолютно непрерывным, если для всех борелевских множеств нулевой меры Лебега ... "XP(XB)=0BP(XB)=0B

Концепция, с которой я знаком, это:

(#) «Если случайная переменная имеет непрерывную кумулятивную функцию распределения, то она абсолютно непрерывна».

( ) ( # )My questions are: два описания об «абсолютной непрерывности» в и говорят об одном и том же? Если да, как я могу перевести одно объяснение в другое?()(#)

Спасибо!

Tian
источник
6
Стандартный пример непрерывного, но не абсолютно непрерывного распределения обсуждается по адресу stats.stackexchange.com/questions/229556/… , где он представлен в графическом виде, и из него предоставляется пример кода.
whuber

Ответы:

22

Описания различаются: только первый является правильным. Этот ответ объясняет, как и почему.()


Непрерывные распределения

«Непрерывное» распределение непрерывно в обычном смысле непрерывной функции . Одно определение (обычно первое, с которым люди сталкиваются в своем образовании) состоит в том, что для каждого и для любого числа существует (в зависимости от и ), для которой значения на - окрестности меняются не более чем на от .Fx ϵ > 0 δ x ϵ F δ x ϵ F ( x )xϵ>0δxϵFδxϵF(x)

От этого короткого шага до демонстрации того, что когда непрерывное является распределением случайной величины , то для любого числа . В конце концов, определение непрерывности подразумевает, что вы можете уменьшить чтобы сделать таким же маленьким, как любой и поскольку (1) эта вероятность не равна меньше чем и (2) может быть сколь угодно малым, следовательно, . Счетная аддитивность вероятности расширяет этот результат любого конечного или счетного множества .FXPr(X=x)=0xδPr(X(xδ,x+δ))ϵ>0Pr(X=x)ϵPr(X=x)=0B

Абсолютно непрерывные распределения

Все функции распределения определяют положительные конечные меры определяемыеF μF

μF((a,b])=F(b)F(a).

Абсолютная преемственность является понятием теории меры. Одна мера абсолютно непрерывна относительно другой меры (оба определены на одной и той же сигма - алгебры) , когда для любого измеримого множества , означает . Другими словами, относительно не существует наборов "small" (мера ноль), которым назначает "большую" (ненулевую) вероятность.μFλEλ(E)=0μF(E)=0λμF

Мы будем считать обычной мерой Лебега, для которой - длина интервала. Вторая половина утверждает, что мера вероятности абсолютно непрерывно относительно меры Лебега.λλ((a,b])=ba()μF(B)=Pr(XB)

Абсолютная преемственность связана с дифференцируемостью. Производная одной меры по отношению к другой (в некоторой точке ) является интуитивным понятием: возьмите набор измеримых окрестностей которые уменьшаются до и сравните две меры в этих окрестностях. Если они всегда приближаются к одному и тому же пределу, независимо от того, какая последовательность окрестностей выбрана, тогда этот предел является производной. (Существует техническая проблема: вам нужно ограничить эти окрестности, чтобы они не имели «патологических» форм. Это можно сделать, потребовав, чтобы каждый район занимал значительную часть области, в которой он находится.)xxx

Дифференцирование в этом смысле как раз то, что вопрос в том, что такое определение вероятности на непрерывном распределении? обращается.

Запишем для производной от по . Соответствующая теорема - это теоретико-мерная версия Фундаментальной теоремы исчисления --assertsDλ(μF)μFλ

μF абсолютно непрерывен относительно тогда и только тогда, когда для каждого измеримого множества , [Рудин, теорема 8.6]λ

μF(E)=E(DλμF)(x)dλ
E

Другими словами, абсолютная непрерывность ( относительно ) эквивалентна существованию функции плотности .μFλ Dλ(μF)

Резюме

  1. Распределение непрерывно, когда непрерывно как функция: интуитивно, оно не имеет «скачков».FF

  2. Распределение абсолютно непрерывно, когда оно имеет функцию плотности (относительно меры Лебега).F

То, что два вида непрерывности не эквивалентны , демонстрируется примерами, например, описанными на https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 . Это знаменитая функция Кантора . Для этой функции почти везде горизонтален (как ее графика), поэтому почти везде нулевой, и поэтому . Это, очевидно, не дает правильное значение (в соответствии с аксиомой полной вероятности).FDλ(μF)RDλ(μF)(x)dλ=R0dλ=01

Комментарии

Практически все распределения, используемые в статистических приложениях, являются абсолютно непрерывными, нигде не непрерывными (дискретными) или их комбинациями, поэтому различие между непрерывностью и абсолютной непрерывностью часто игнорируется. Тем не менее, неспособность оценить это различие может привести к грязной аргументации и плохой интуиции, особенно в тех случаях, когда строгость наиболее необходима: а именно, когда ситуация запутанная или неинтуитивная, поэтому мы полагаемся на математику, чтобы привести нас к исправлению результатов. Вот почему мы обычно не занимаемся этим на практике, но каждый должен знать об этом.

Ссылка

Рудин, Уолтер. Реальный и комплексный анализ . McGraw-Hill, 1974: разделы 6.2 (Абсолютная непрерывность) и 8.1 (Производные мер).

Whuber
источник
2
В других приложениях существует не совсем продолжительное распространение. Одним из примеров являются (некоторые) динамические системы, в которых имеется множество подковы Смейла, что приводит к распределению со свойствами, подобными распределению Кантора.
kjetil b halvorsen