В книге Валентина В. Петрова «Предельные теоремы теории вероятностей» я увидел различие между определениями «непрерывного» и «абсолютно непрерывного», которое сформулировано следующим образом:
X P ( X ∈ B ) = 0 B P ( X ∈ B ) = 0 B "... Распределение случайной величины называется непрерывным, если для любого конечного или счетного множества точек вещественной линии. быть абсолютно непрерывным, если для всех борелевских множеств нулевой меры Лебега ... "
Концепция, с которой я знаком, это:
«Если случайная переменная имеет непрерывную кумулятивную функцию распределения, то она абсолютно непрерывна».
( ∗ ) ( # ) два описания об «абсолютной непрерывности» в и говорят об одном и том же? Если да, как я могу перевести одно объяснение в другое?
Спасибо!
Ответы:
Описания различаются: только первый является правильным. Этот ответ объясняет, как и почему.(∗)
Непрерывные распределения
«Непрерывное» распределение непрерывно в обычном смысле непрерывной функции . Одно определение (обычно первое, с которым люди сталкиваются в своем образовании) состоит в том, что для каждого и для любого числа существует (в зависимости от и ), для которой значения на - окрестности меняются не более чем на от .F x ϵ > 0 δ x ϵ F δ x ϵ F ( x )x ϵ>0 δ x ϵ F δ x ϵ F(x)
От этого короткого шага до демонстрации того, что когда непрерывное является распределением случайной величины , то для любого числа . В конце концов, определение непрерывности подразумевает, что вы можете уменьшить чтобы сделать таким же маленьким, как любой и поскольку (1) эта вероятность не равна меньше чем и (2) может быть сколь угодно малым, следовательно, . Счетная аддитивность вероятности расширяет этот результат любого конечного или счетного множества .F X Pr(X=x)=0 x δ Pr(X∈(x−δ,x+δ)) ϵ>0 Pr(X=x) ϵ Pr(X=x)=0 B
Абсолютно непрерывные распределения
Все функции распределения определяют положительные конечные меры определяемыеF μF
Абсолютная преемственность является понятием теории меры. Одна мера абсолютно непрерывна относительно другой меры (оба определены на одной и той же сигма - алгебры) , когда для любого измеримого множества , означает . Другими словами, относительно не существует наборов "small" (мера ноль), которым назначает "большую" (ненулевую) вероятность.μF λ E λ(E)=0 μF(E)=0 λ μF
Мы будем считать обычной мерой Лебега, для которой - длина интервала. Вторая половина утверждает, что мера вероятности абсолютно непрерывно относительно меры Лебега.λ λ((a,b])=b−a (∗) μF(B)=Pr(X∈B)
Абсолютная преемственность связана с дифференцируемостью. Производная одной меры по отношению к другой (в некоторой точке ) является интуитивным понятием: возьмите набор измеримых окрестностей которые уменьшаются до и сравните две меры в этих окрестностях. Если они всегда приближаются к одному и тому же пределу, независимо от того, какая последовательность окрестностей выбрана, тогда этот предел является производной. (Существует техническая проблема: вам нужно ограничить эти окрестности, чтобы они не имели «патологических» форм. Это можно сделать, потребовав, чтобы каждый район занимал значительную часть области, в которой он находится.)x x x
Дифференцирование в этом смысле как раз то, что вопрос в том, что такое определение вероятности на непрерывном распределении? обращается.
Запишем для производной от по . Соответствующая теорема - это теоретико-мерная версия Фундаментальной теоремы исчисления --assertsDλ(μF) μF λ
Другими словами, абсолютная непрерывность ( относительно ) эквивалентна существованию функции плотности .μF λ Dλ(μF)
Резюме
Распределение непрерывно, когда непрерывно как функция: интуитивно, оно не имеет «скачков».F F
Распределение абсолютно непрерывно, когда оно имеет функцию плотности (относительно меры Лебега).F
То, что два вида непрерывности не эквивалентны , демонстрируется примерами, например, описанными на https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 . Это знаменитая функция Кантора . Для этой функции почти везде горизонтален (как ее графика), поэтому почти везде нулевой, и поэтому . Это, очевидно, не дает правильное значение (в соответствии с аксиомой полной вероятности).F Dλ(μF) ∫RDλ(μF)(x)dλ=∫R0dλ=0 1
Комментарии
Практически все распределения, используемые в статистических приложениях, являются абсолютно непрерывными, нигде не непрерывными (дискретными) или их комбинациями, поэтому различие между непрерывностью и абсолютной непрерывностью часто игнорируется. Тем не менее, неспособность оценить это различие может привести к грязной аргументации и плохой интуиции, особенно в тех случаях, когда строгость наиболее необходима: а именно, когда ситуация запутанная или неинтуитивная, поэтому мы полагаемся на математику, чтобы привести нас к исправлению результатов. Вот почему мы обычно не занимаемся этим на практике, но каждый должен знать об этом.
Ссылка
Рудин, Уолтер. Реальный и комплексный анализ . McGraw-Hill, 1974: разделы 6.2 (Абсолютная непрерывность) и 8.1 (Производные мер).
источник