В чем разница между производящей момент функцией и вероятностной функцией?

Я запутался между двумя терминами «функция, генерирующая вероятность» и «функция, генерирующая момент». Как эти термины отличаются?

Функция, генерирующая вероятность, обычно используется для (неотрицательных) целочисленных случайных величин, но на самом деле это только переупаковка функции, генерирующей момент. Таким образом, они содержат одинаковую информацию.

Пусть неотрицательная случайная величина. Затем (см. Https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) функция, генерирующая вероятность, определяется как G ( z ) = E z X, а функция, генерирующая момент, - M X ( t ) = E e t X Теперь определите log z = t так, чтобы e t = z . Тогда G ( z ) = E z X = $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ Таким образом, чтобы заключить, связь проста: G ( z ) = M X ( log z $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

$G(z) = M_X(\log z)$$z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$

Давайте сначала определим оба, а затем уточним разницу.

1) В теории и статистике вероятностей производящая момент функция (mgf) вещественной случайной величины является альтернативной спецификацией ее распределения вероятности.

2) В теории вероятностей функция, генерирующая вероятность (pgf) дискретной случайной величины, является представлением степенного ряда (производящей функцией) функции вероятности и массы случайной величины.

$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Как указывает @kjetilbhalvorsen, pgf применяется к неотрицательным, а не только к дискретным случайным переменным. Таким образом, текущая запись в Википедии в функции, генерирующей вероятность, имеет ошибку пропуска и должна быть улучшена.