Я пытаюсь найти вероятностное распределение суммы случайного числа переменных, которые не распределены одинаково. Вот пример:
Джон работает в колл-центре обслуживания клиентов. Он получает звонки с проблемами и пытается их решить. Те, кого он не может решить, он передает их своему начальнику. Предположим, что количество вызовов, которые он получает за день, соответствует распределению Пуассона со средним значением . Сложность каждой проблемы варьируется от довольно простых вещей (с которыми он может определенно иметь дело) до очень специализированных вопросов, которые он не знает, как решить. Предположим , что вероятность р я , что он будет в состоянии решить я -ю проблему следует бета - распределение с параметрами альфа и β и не зависит от предыдущих проблем. Какое распределение звонков он решает за день?
Более формально я имею:
для я = 0 , 1 , 2 , . , , , N
где , ( Х я | р я ) ~ Б е р п о у л л я ( р я ) и р я ~ Б е т ( α , β )
Обратите внимание, что сейчас я рад предположить, что независимы. Я также согласился бы с тем, что параметры μ , α и β не влияют друг на друга, хотя в реальном примере этого, когда μ велико, параметры α и β таковы, что бета-распределение имеет большую массу при низком успехе. ставки с . Но давайте пока проигнорируем это.
Я могу рассчитать но это все. Я также могу смоделировать значения, чтобы получить представление о том, как выглядит распределение Y (оно выглядит как Пуассон, но я не знаю, доходит ли это до чисел μ , α и β, которые я пробовал, или обобщает, и как оно может измениться для разных значений параметров). Любая идея о том, что это за распределение или как я мог бы получить его?
Обратите внимание, что я также разместил этот вопрос на форуме TalkStats, но я подумал, что он может привлечь больше внимания здесь. Извиняюсь за перекрестную рассылку и большое спасибо заранее за ваше время.
EDIT : Как выясняется (см очень полезные ответы ниже - и спасибо за те!), Это действительно распределение, о чем я догадывался, основываясь на своей интуиции и некоторых моделях, но не смог доказать. Что я теперь найти неожиданные однако, заключаетсятомчто распределение Пуассона зависит только от среднего значенияBетвраспределениино не зависит от ее дисперсии.
Например, следующие два бета-распределения имеют одинаковое среднее значение, но разную дисперсию. Для ясности синий pdf представляет собой а красный - B e t a ( 0,75 , 0,75 ) .
Тем не менее, они оба результата в том же распределения , которое, мне кажется слегка нелогичным. (Не сказать, что результат неправильный, просто удивительно!)
источник
Ответы:
Числовой пример (с R) ... на рисунке вертикальные линии взяты из симуляции, а красные точки - это pmf, полученный выше:
источник
источник