Какой самый простой способ убедиться, что следующее утверждение верно?
Предположим, . Показать .Y1,…,Yn∼iidExp(1)∑ni=1(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)
Обратите внимание, что .Y(1)=min1≤i≤nYi
Под X∼Exp(β) это означает, что fX(x)=1βe−x/β⋅1{x>0} .
Легко видеть, что Y(1)∼Exponential(1/n) . Кроме того, у нас также есть ∑ni=1Yi∼Gamma(α=n,β=1) при параметризации
fY(y)=1Γ(α)βαxα−1e−x/β1{x>0}, α,β>0.
Решение с учетом ответа Сианя : используя обозначения в исходном вопросе:
∑i=1n[Yi−Y(1)]=∑i=1n[Y(i)−Y(1)]=∑i=1nY(i)−nY(1)=∑i=1n{Y(i)−Y(i−1)+Y(i−1)−⋯−Y(1)+Y(1)}−nY(1)=∑i=1n∑j=1i{Y(j)−Y(j−1)}−nY(1) where Y(0)=0=∑j=1n∑i=jn{Y(j)−Y(j−1)}−nY(1)=∑j=1n(n−j+1)[Y(j)−Y(j−1)]−nY(1)=∑i=1n(n−i+1)[Y(i)−Y(i−1)]−nY(1)=∑i=2n(n−i+1)[Y(i)−Y(i−1)]+nY(1)−nY(1)=∑i=2n(n−i+1)[Y(i)−Y(i−1)].
Из этого мы получаем, что
∑ni=2(n−i+1)[Y(i)−Y(i−1)]∼Gamma(n−1,1)1) .
Ответы:
Доказательство дано в «Матери всех книг случайного поколения», «Неоднородное поколение случайных вариаций Девроя» , на стр.211 (и это очень элегантно!):
Доказательство. Так как объединенная плотность статистики порядка записывается как Установка , замена переменных из to имеет постоянный якобиан [случайно равныйно это не нужно вычислять] и, следовательно, плотность
Альтернатива, предложенная мне Жераром Летаком, состоит в том, чтобы проверить, что имеет то же распределение, что и (в силу свойства без памяти), который делает вывод просто.
источник
Я выкладываю здесь то, что было предложено в комментариях @jbowman.
Пусть константа . Пусть следует за и рассмотрим . потомa≥0 Yi Exp(1) Zi=Yi−a
которая является функцией распределения .Exp(1)
Давайте опишем это: вероятность того, что rv попадет в определенный интервал (числитель в последней строке), учитывая, что он превысит нижнюю границу интервала (знаменатель), зависит только от длина интервала, а не то, где этот интервал находится на реальной линии.Exp(1) Это воплощение свойства « без памяти » экспоненциального распределения, здесь в более общем контексте, свободного от временных интерпретаций (и оно справедливо для экспоненциального распределения в целом)
Теперь, обусловливая мы заставляем быть неотрицательным, и, что особенно важно, полученный результат имеет . Таким образом, мы можем заявить следующее:{Yi≥a} Zi ∀a∈R+
Если , то .Yi∼Exp(1) ∀Q≥0:Zi=Yi−Q≥0 ⟹ Zi∼Exp(1)
Можем ли мы найти который может свободно принимать все неотрицательные действительные значения и для которого требуемое неравенство всегда выполняется (почти наверняка)? Если мы можем, тогда мы можем обойтись без аргумента обусловленности.Q≥0
И действительно, мы можем. Это статистика минимального порядка , , . Итак, мы получилиQ=Y(1) Pr(Yi≥Y(1))=1
Это означает, что
Таким образом, если вероятностная структура остается неизменной, если мы вычитаем статистику минимального порядка, из этого следует, что случайные величины и где независимы, также независимы, поскольку возможная связь между ними не влияет на вероятностную структуру.Yi Zi=Yi−Y(1) Zj=Yj−Y(1) Yi,Yj Y(1)
Тогда сумма содержит iid случайных величин (и ноль), и так∑ni=1(Yi−Y(1)) n−1 Exp(1)
источник