Почему закон больших чисел не применяется в случае цены акций Apple?

39

Вот статья в Нью-Йорк Таймс под названием «Apple противостоит закону больших чисел» . Он пытается объяснить рост цены акций Apple, используя закон больших чисел. Какие статистические (или математические) ошибки делает эта статья?

mpiktas
источник
5
Я нашел эту статью через блог @Epigrad: confounding.net/2012/03/12/... .
mpiktas
2
(+1) Спасибо за то, что привлекли внимание к этой статье здесь.
кардинал
1
Мой второй самый голосующий ответ прибывает из вопроса о статье в NYTimes. Также я хотел знать, как другие люди ответят на этот вопрос. У меня есть ответ с несколько иной точки зрения, чем у Эпиграда, и я подумал, что кто-нибудь еще может его опубликовать.
mpiktas

Ответы:

31

Суть в том, что Apple настолько велика, что сталкивается с законом больших чисел.

Закон, также известный как золотая теорема, с доказательством, приписанным швейцарскому математику 17-го века Якобу Бернулли, гласит, что переменная будет возвращаться к среднему значению по большой выборке результатов. Что касается крупнейших компаний, то это предполагает, что высокий рост прибыли и быстрый рост цен на акции будут замедляться по мере того, как эти компании будут расти все больше.

Этот сумбурный беспорядок на самом деле относится к трем различным явлениям!

  1. (Различные) законы больших чисел являются фундаментальными в теории вероятностей для характеристики ситуаций, в которых разумно ожидать, что большие выборки дадут все более качественную информацию о процессе или популяции, которые отбираются. Действительно, Джейкоб Бернулли был первым, кто осознал необходимость сформулировать и доказать такую ​​теорему, которая появилась в его посмертном « Арсе Конъектанди» в 1713 году (под редакцией племянника Николая Бернулли).

    Нет очевидного действительного применения такого закона к росту Apple.

  2. Регрессия к среднему была впервые признана Фрэнсисом Гальтоном в 1880-х годах. Однако среди бизнес-аналитиков это часто недооценивают. Например, в начале 1933 года (в разгар Великой депрессии) Гораций Секрист опубликовал свое великое произведение « Триумф посредственности в бизнесе». В этом он обильно исследовал деловые временные ряды и нашел, в каждом случае, доказательства регрессии к среднему значению. Но, не признавая это как неизбежное математическоеявление, он утверждал, что он раскрыл основную истину развития бизнеса! Эта ошибка, заключающаяся в том, что мы принимаем чисто математическую модель за результат какой-то основной силы или тенденции (сейчас ее часто называют «ошибкой регрессии»), напоминает процитированный отрывок.

    (Примечательно, что Secrist был выдающимся статистиком, автором одного из самых популярных учебников по статистике, опубликованных в то время. На JSTOR вы можете найти раздирающий обзор Триумфа » Гарольда Хотеллинга, опубликованный в JASA в конце 1933 года. Последующий обмен письмами с Secrist, писал Хотеллинг

    Мой обзор ... был в основном посвящен предупреждению читателей не делать вывод о том, что коммерческие фирмы имеют тенденцию становиться посредственными ... "Доказать" такой математический результат дорогостоящим и длительным численным исследованием ... аналогично доказательству умножения таблица, расположив слонов в строках и столбцах, а затем сделав то же самое для многих других видов животных. Представление, хотя, возможно, и занимательное, и имеет определенную педагогическую ценность, не является важным вкладом ни в зоологию, ни в математику.

    [JASA Vol. 29, № 186 (июнь 1934 г.), стр. 198 и 199].)

    Нью - Йорк Таймс проход , кажется, делает ту же ошибку с бизнес - данными Apple.

  3. Однако, если мы продолжим читать в статье, мы вскоре обнаружим предполагаемое значение автора:

    Если цена акций компании Apple выросла еще на 20 процентов в год в течение следующего десятилетия, что намного ниже текущей пузырей темпами, его $ 500 млрд рыночной капитализации будет более чем $ 3 трлн 2022.

    Это, конечно, утверждение об экстраполяции экспоненциального роста. Как таковой, он содержит отголоски мальтузианских прогнозов населения . Однако опасность экстраполяции не ограничивается экспоненциальным ростом. Марк Твен (Сэмюэль Клементс) привел в порядок бессмысленные экстраполяторы в фильме «Жизнь на Миссисипи» (1883, глава 17):

    Теперь, если бы я хотел быть одним из тех тяжеловесных научных людей и «позволить» доказать ... что произойдет в далеком будущем тем, что произошло в последние годы, какая здесь возможность! ... Пожалуйста, обратите внимание: -

    За сто семьдесят шесть лет Нижний Миссисипи укоротил себя на двести сорок две мили. Это в среднем мелочи за одну милю и треть за год. Поэтому любой спокойный человек, который не является слепым или идиотом, может увидеть, что в «древнеолитском силурийском периоде», всего миллион лет назад, в ноябре следующего года, река Нижний Миссисипи была длиной более одного миллиона трехсот тысяч миль и застряла. над Мексиканским заливом, как удочка. И точно так же любой человек может увидеть, что через семьсот сорок два года Нижняя Миссисипи будет иметь длину всего в милю и три четверти, и Каир и Новый Орлеан будут объединять свои улицы вместе и будут комфортно дойти под единый мэр и общая коллегия олдерменов. В науке есть что-то захватывающее.Получается такая оптовая отдача от догадок из такого незначительного фактического вложения. »

    (Выделение добавлено.) Сатира Твена выгодно отличается от цитаты из статьи бизнес-аналитика Роберта Кихры:

    Если вы экстраполируете достаточно далеко в будущее, для поддержания этого роста Apple придется продавать iPhone всем мужчинам, женщинам, детям, животным и камням на планете.

    (К сожалению, похоже, что Цихра не прислушивается к своему собственному совету: он оценивает эту акцию как «покупку». Возможно, он прав, не по существу, а в силу теории великого дурака .)

Если мы возьмем эту статью для обозначения «остерегайтесь экстраполировать предыдущий рост в будущее», мы многое получим из этого. Инвесторы, которые считают эту компанию удачной покупкой, потому что ее отношение PE низкое (включая нескольких известных управляющих деньгами, указанных в статье), ничуть не лучше, чем «тяжеловесные научные люди», которые Твен вертел более века назад.

Лучшее знакомство с Бернулли, Хотеллингом и Твеном улучшило бы точность и удобочитаемость этой статьи, но, в конце концов, похоже, все правильно поняло.

Whuber
источник
4
Это был мой основной вынос. Автор статьи не ошибается . С другой стороны, его оправдание "потому что математика" далеко от основания.
Fomite
1
какой хороший и хорошо сбалансированный ответ! я хочу дать 100 баллов
Сиддхарт Гопи
34

Как ни странно, я только что написал сообщение в блоге на эту тему: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

По сути, закон больших чисел заключается в том, что по мере увеличения числа испытаний случайного процесса среднее значение этих испытаний будет приближаться к фактическому среднему значению (или ожиданию для более сложных распределений). Так что, если вы подбрасываете монету один раз и получаете голову, ваша вероятность голов = 1,0, а когда вы подбрасываете все больше и больше монет, вы приближаетесь все ближе к 0,50.

Автор утверждает, что у Apple будут проблемы в будущем из-за чего-то, что на самом деле вообще не связано с Законом больших чисел. А именно, по мере того, как Apple становится все больше, в абсолютном долларовом выражении становится все труднее достичь такого же процентного увеличения цены акций, прибыли и т. Д. По сути, чтобы идти в ногу со временем, Apple должна получать все больше и больше хитов.

Чтобы связать это с поведением случайного процесса, сходящегося к среднему, требуется серьезная умственная гимнастика. Насколько я могу судить, утверждение заключается в том, что «удивительность ваших продуктов» - это случайный процесс, и хотя у Apple была полоса «выше среднего», они в конечном итоге должны будут приблизиться к среднему значению «среднего уровня». ». Но это действительно очень благотворительно для автора.

Тот факт, что 500 миллиардов - это большое число, не означает, что на него действует «закон больших чисел».

фомиты
источник
8
(+1) Сначала, когда я начал читать статью, я подумал, что автор, возможно, связывает закон больших чисел с регрессией к среднему . Затем я попал в абзац, который начинается «Также известный как золотая теорема ...». Это читается как кто-то, кто просмотрел книгу Л. Млодинова « Путь пьяницы: как случайность управляет нашей жизнью» (иначе интересное чтение), а затем подумал, что что-то знает.
кардинал
8
«Потрясение ваших продуктов» как случайный процесс, я чувствую, что сейчас создается новая ветвь статистики.
asjohnson
1
В блоге Эндрю Гельмана также есть обсуждение. andrewgelman.com/2012/02/…
zbicyclist
13

Нет оснований полагать, что изменение цены акций определенной компании с течением времени представляет собой независимые, одинаково распределенные случайные величины.

Димитрий Васильевич Мастеров
источник
Хорошо, да, но предположение может быть значительно ослаблено для удержания.
mpiktas
Но вам все еще нужна независимость, которая не имеет смысла, когда речь идет о DGP цены акций, если вы не рассматриваете финансы как особый случай рулетки. Но в этом случае, безусловно, регрессия к среднему значению была бы более полезной концепцией, а не LLN. Мне также не ясно, к какому случайному процессу относится LLN. Это сама цена, изменение цены или рыночная капитализация Apple? Наконец, я не уверен, является ли ожидаемое значение, к которому предположительные средства предположительно сходятся во времени, действительно значимым в любом из трех вышеупомянутых случаев.
Дмитрий Васильевич Мастеров
1
Димитрий, твои замечания хорошо приняты. Заметьте, однако, что статья (как бы бессмысленная она ни была) относится к работе Бернулли, которая является WLLN. Так, например, мы можем избежать неприятностей с некоррелированными, а не независимыми случайными переменными, и даже с умеренной корреляцией, если она не растет слишком быстро в зависимости от числа переменных.
кардинал
яяdИкся
3
ИксяL2Вaр(SN)знак равноо(N2)ИксяX¯nμ¯n0в вероятности. Конечно, существуют более общие формы даже WLLN. (+1, кстати.)
кардинал