Это более общий подход к проблеме, поставленной этим вопросом . После получения асимптотического распределения выборочной дисперсии мы можем применить метод Дельта, чтобы получить соответствующее распределение для стандартного отклонения.
Пусть выборка размера из iid ненормальных случайных величин , со средним значением и дисперсией . Установите среднее значение выборки и выборочную дисперсию как { X i } ,
Мы знаем, что
где , и мы ограничиваем наше внимание распределениями, для которых какие моменты должны существовать и быть конечными, существуют и конечны.
Это держит это
mathematical-statistics
variance
central-limit-theorem
asymptotics
Алекос Пападопулос
источник
источник
Ответы:
В зависимости от шага, возникающие при рассмотрении выборочной дисперсии, мы пишем
и после небольшой манипуляции,
Следовательно
Манипуляции,
Член становится асимптотически единичным. Термин является детерминированным и стремится к нулю как .√n/(n−1) n→∞n√n−1σ2 n → ∞
У нас также есть . Первый компонент сходится по распределению к нормали, второй по вероятности сходится к нулю. Тогда по теореме Слуцкого произведение сходится по вероятности к нулю,N--√( х¯- μ )2= [ п--√( х¯- μ ) ] ⋅ ( x¯- μ )
Мы остались с термином
Опираясь на смертоносный пример, предложенный @whuber в комментарии к этому ответу , мы хотим убедиться, что не является константой. Уубер указал, что если является бернуллиевским то эта величина является константой. Таким образом, исключая переменные, для которых это происходит (возможно, другие дихотомические, а не только двоичные ?), В остальном мы имеемХ я ( 1 / 2 ) 0 / 1( Xя- μ )2 Икся ( 1 / 2 ) 0 / 1
и поэтому исследуемый термин является обычным предметом классической центральной предельной теоремы, и
Примечание: приведенный выше результат, конечно, справедлив и для нормально распределенных выборок, но в последнем случае мы также имеем конечный выборочный результат распределения хи-квадрат.
источник
У вас уже есть подробный ответ на ваш вопрос, но позвольте мне предложить другой вопрос. На самом деле, более короткое доказательство возможно на основе того факта, что распределение
не зависит от , скажем. Асимптотически также не имеет значения, изменим ли мы коэффициент на , что я сделаю для удобства. Затем мы имеем1Е( X) = ξ 11n - 1 1N
И теперь мы предполагаем без ограничения общности, что и мы замечаем, чтоξ= 0
имеет предел вероятности ноль, так как второе слагаемое ограничено по вероятности (согласно CLT и теореме о непрерывном отображении), т.е. оно равно . Асимптотический результат теперь следует из теоремы Слуцкого и CLT, так какОп( 1 )
где . И это сделает это.τ2= Va r { X2} = E ( X4) - ( E ( X)2) )2
источник
Отличные ответы Алекоса и ДжонК уже результат, , но я хотел бы отметить еще кое-что об асимптотическом распределении выборочной дисперсии.
Обычно можно увидеть асимптотические результаты, представленные с использованием нормального распределения, и это полезно для формулировки теорем. Однако, практически говоря, цель асимптотического распределения для выборочной статистики состоит в том, что она позволяет получить приблизительное распределение, когда велико. Есть много вариантов, которые вы могли бы сделать для своего приближения большой выборки, поскольку многие распределения имеют одинаковую асимптотику. В случае выборочной дисперсии, я считаю, что превосходное аппроксимирующее распределение для больших определяется выражением:n n
где и - параметр эксцесса. Это распределение асимптотически эквивалентно нормальному приближению, полученному из теоремы (распределение хи-квадрат сходится к нормальному, когда степени свободы стремятся к бесконечности). Несмотря на эту эквивалентность, эта аппроксимация обладает рядом других свойств, которые вы бы хотели, чтобы ваше аппроксимирующее распределениеDFn≡2/V(S2n/σ2)=2n/(κ−(n−3)/(n−1)) κ=μ4/σ4
В отличие от нормального приближения, полученного непосредственно из теоремы, это распределение имеет правильную поддержку интересующей статистики. Выборочная дисперсия неотрицательна, и это распределение имеет неотрицательную поддержку.
В случае, когда базовые значения обычно распределены, это приближение фактически является точным распределением выборки. (В этом случае мы имеем что дает , который является стандартной формой, используемой в большинстве текстов.) Следовательно, он представляет собой результат, который является точным в важном частном случае, и при этом остается разумным приближением в более общие случаи.κ=3 DFn=n−1
Вывод вышеуказанного результата: Приблизительные результаты распределения для выборочного среднего и дисперсии подробно обсуждаются в O'Neill (2014) , и в этой статье приводятся выводы многих результатов, включая настоящее приближенное распределение.
Этот вывод начинается с ограничивающего результата в вопросе:
Переставляя этот результат, мы получаем приближение:
Поскольку распределение хи-квадрат асимптотически нормально, как мы имеем:DF→∞
Если (что приводит к приведенной выше формуле), то обеспечивающая асимптотическое распределение хи-квадрат эквивалентно нормальному приближению из предельной теоремы.D F n → 2 n / ( κ - 1 )DFn≡2/V(S2n/σ2) DFn→2n/(κ−1)
источник