Если у меня есть ожидаемое значение логарифма RV, могу ли я получить ожидаемое значение самого RV?

Предположим, что задано , могу ли я получить в закрытом формате? $\text{E}[\log(X)]$ $\text{E}[X]$

expected-value logarithm Теоден
источник

Знаете ли вы распределение журнала X или X? Например. это будет распределены нормально? В самом общем случае, когда следует какому-то произвольному распределению, вы не сможете много сказать.

x

$x$

x

$x$

Мэтью Ганн

Нет. Дается только среднее значение log (x).

Теоден

Почти все, что вы можете сказать, это то, что из-за неравенства Дженсена .

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$

Мэтью Ганн

Ответы:

Нет.

Например, если следует нормальному логарифмическому распределению, где , то и не зависит от . Однако его среднее значение равно . Очевидно, что вы не можете вывести зависит число от независимого числа. $X$ $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ $E[\log(x)] = \mu$ $\sigma$ $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ $\sigma$ $\sigma$

jwimberley
источник

Это имеет смысл. Мне нужно больше информации тогда.

Теоден

Или для очень простого примера рассмотрим дискретные случайные величины X (принимающие значение 1 с вероятностью 1/3 и 10 с вероятностью 2/3) и Y (принимающие значение 1 с вероятностью 2/3 и 100 с вероятностью 1/3) , Тогда E [log X] = E [log Y] = 1/3 (или какое-то другое число, если вы предпочитаете, чтобы логарифмы были взяты для более разумного основания, чем 10, но все равно равны, поскольку в любом базовом журнале 100 = 2 log 10). Однако E [X]! = E [Y].

Стив Джессоп