Совместно полная достаточная статистика: равномерная (a, b)

Пусть $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$ - случайная выборка из равномерного распределения на $(a,b)$ , где $a < b$ . Пусть $Y_1$ и $Y_n$ будут статистикой наибольшего и наименьшего порядка. Покажите, что статистика $(Y_1, Y_n)$ является совместно полной достаточной статистикой для параметра $\theta = (a, b)$,

Для меня не проблема показать достаточность с помощью факторизации.

Вопрос: Как мне показать полноту? Желательно, чтобы мне была подсказка.

Попытка: я могу показать, что $\mathbb E[g(T(x))] = 0$ подразумевает $g(T(x)) = 0$ для равномерного распределения с одним параметром, но я застреваю на равномерном распределении с двумя параметрами.

Я попытался поиграться с $\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$ и использовать совместное распределение $Y_1$ и $Y_n$ , но я не уверен, иду ли я в правильном направлении, так как исчисление сбивает меня с толку.

Давайте позаботимся о рутинном исчислении для вас, чтобы вы могли понять суть проблемы и получить удовольствие от формулировки решения. Все сводится к построению прямоугольников как союзов и отличий треугольников.

Сначала выберите значения и b, которые сделают детали максимально простыми. $a$$b$ Мне нравится : одномерная плотность любого компонента X = ( X 1 , X 2 , … , X n ) является просто индикаторной функцией интервала [ 0 , 1 ] .$a=0,b=1$$X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$$[0,1]$

Найдем функцию распределения of ( Y 1 , Y n ) . $F$$(Y_1,Y_n)$По определению для любых действительных чисел это$y_1 \le y_n$

$$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$$

Значения , очевидно, равны или если любой из или находится вне интервала , поэтому давайте предположим, что они оба находятся в этом интервале. (Давайте также предположим, что чтобы избежать обсуждения тривиальностей.) В этом случае событие можно описать в терминах исходных переменных как «хотя бы один из меньше или равно и ни один из превышает . " Эквивалентно, все лежат в0 1 y 1 y n [ a , b ] = [ 0 , 1 ] n ≥ 2 ( 1 ) X = ( X 1 , X $F$$0$$1$$y_1$$y_n$$[a,b] = [0,1]$$n\ge 2$$(1)$X i y 1 X $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$$X_i$$y_1$$X_i$X $y_n$$X_i$( y 1 , y n$[0,y_n]$но это не тот случай, когда все они лежат . $(y_1,y_n]$

Поскольку независимы, их вероятности умножаются и дают и соответственно для этих двух только что упомянутых событий. Таким образом, ( y $X_i$ (yn-y1)$(y_n-0)^n = y_n^n$$(y_n-y_1)^n$

$$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$$

Плотность представляет собой смешанную частную производную ,$f$$F$

$$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$$

Общий случай для масштабирует переменные на коэффициент и смещает местоположение на . б - $(a,b)$$b-a$$a$ a < y 1 ≤ y n < b Таким образом, для ,$a \lt y_1 \le y_n \lt b$

$$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$$

Различая, как и прежде, мы получаем

$$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$$

Рассмотрим определение полноты. Пусть - любая измеримая функция двух действительных переменных. По определению,$g$

$$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$$

Нам нужно показать, что когда это ожидание равно нулю для всех , то наверняка для любого .$(a,b)$( а , б $g=0$$(a,b)$

Вот твой намек. Пусть - любая измеримая функция. Я хотел бы выразить это в форме, предложенной как . Для этого, очевидно, мы должны разделить на . К сожалению, для это не определено всякий раз, когда . Ключ в том, что этот набор имеет нулевую меру, поэтому мы можем пренебречь им. ( 2 ) h ( x , y ) = g ( x , y ) ( y - x ) n - 2 h ( y - $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$$(2)$$h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$$h$$(y-x)^{n-2}$y - $n\gt 2$$y-x$

Соответственно, с учетом любого измеримого , определим$h$

$$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$$

Тогда становится$(2)$

$$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$$

(Когда задача показывает, что что-то равно нулю, мы можем игнорировать ненулевые константы пропорциональности. Здесь я опустил с левой стороны.)$n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

Это интеграл по прямоугольному треугольнику с гипотенузой, простирающейся от до и вершиной в . Обозначим такой треугольник .$(a,a)$$(b,b)$$(a,b)$$\Delta(a,b)$

Следовательно , вам нужно показать, что если интеграл произвольной измеримой функции по всем треугольникам равен нулю, то для любого , (почти наверняка) ) для всех .Δ ( а $h$$\Delta(a,b)$$a\lt b$$h(x,y)=0$$(x,y)\in \Delta(a,b)$

Хотя может показаться, что мы не продвинулись дальше, рассмотрим любой прямоугольник полностью содержащийся в полуплоскости . Это можно выразить в виде треугольников:$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$$y \gt x$

$$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$$

На этом рисунке прямоугольник - это то, что осталось от большого треугольника, когда мы удаляем перекрывающиеся красные и зеленые треугольники (которые дважды учитывают их коричневое пересечение), а затем заменяем их пересечение.

Следовательно, вы можете сразу сделать вывод, что интеграл от по всем таким прямоугольникам равен нулю. $h$ Осталось только показать, что должно быть равно нулю (кроме значений в некотором наборе нулей меры) всякий раз, когда . Доказательство этого (интуитивно понятного) утверждения зависит от того, какой подход вы хотите использовать для определения интеграции.у > $h(x,y)$$y \gt x$