Центральная предельная теорема утверждает, что среднее значение iid-переменных, когда переходит в бесконечность, становится нормально распределенным.
Это поднимает два вопроса:
- Можем ли мы вывести из этого закон больших чисел? Если закон больших чисел гласит, что среднее значение выборки значений случайной величины равно истинному среднему значению при переходе в бесконечность, то, кажется, еще сильнее сказать, что (как говорит центральный предел), что значение становится где - стандартное отклонение. Справедливо ли тогда говорить, что центральный предел подразумевает закон больших чисел?
- Применима ли центральная предельная теорема к линейной комбинации переменных?
Ответы:
ОП говорит
Я возьму это означает , что это убеждение ОП о том , что для одинаково распределенных случайных величин со средним значением и стандартным отклонением , кумулятивная функция распределения из сходится к кумулятивной функции распределения , нормальной случайной величины со средним значением и стандартным отклонением . Или, OP считает, что незначительные перестановки этой формулы, например, распределение сходится к распределению или распределению μ σ F Z n ( а ) Z n = 1Xi μ σ FZn(a) N(μ,σ)μσZn-μN(0,σ)(Zn-μ)/σN(0,1)P{| Zn-μ| >σ}=1-FZn(μ+σ
ОП продолжает говорить
Слабый закон больших чисел говорит , что для одинаково распределенных случайных величин с конечным средним , учитывая любой , Обратите внимание, что нет необходимости предполагать, что стандартное отклонение конечно. μ ϵ > 0 P { | Z n - μ | > ϵ } → 0 при n → ∞ .Xi μ ϵ>0
Итак, чтобы ответить на вопрос ОП,
Центральная предельная теорема, сформулированная ОП , не подразумевает слабый закон больших чисел. При версия центральной предельной теоремы OP гласит, что то время как слабый закон говорит, чтоP { | Z n - μ | > σ } → 0.317 ⋯ P { | Z n - μ | > σ } → 0n→∞ P{|Zn−μ|>σ}→0.317⋯ P{|Zn−μ|>σ}→0
Из правильной формулировки центральной предельной теоремы в лучшем случае можно вывести только ограниченную форму слабого закона больших чисел, относящегося к случайным переменным с конечным средним и стандартным отклонением. Но слабый закон больших чисел также справедлив для случайных величин, таких как случайные переменные Парето, с конечным средним, но с бесконечным стандартным отклонением.
Я не понимаю, почему говорить, что среднее значение выборки сходится к нормальной случайной переменной с ненулевым стандартным отклонением, является более сильным утверждением, чем говорить, что среднее значение выборки сходится к среднему значению совокупности, которое является константой (или случайной величиной с нулевым стандартным отклонением, если тебе нравится).
источник
Для закона больших чисел необходимо, чтобы все переменные были определены в одном и том же вероятностном пространстве (поскольку закон больших чисел является утверждением о вероятности события, определяемого , для всех одновременно). Для сходимости в распределении у вас могут быть разные вероятностные пространства, что упрощает многие аспекты доказательств (например, увеличение вложенных пространств, что очень часто встречается для различных треугольных доказательств в массивах). Но это также означает, что вы не можете делать какие-либо заявления относительно совместного распределения и , скажем. Так что нет, сходимость в распределении не подразумевает закон больших чисел, если только у вас нет общего вероятностного пространства для всех переменных.n ˉ X n ˉ X n+1X¯n n X¯n X¯n+1
источник
Во-первых, хотя существует много определений, одна из стандартных форм центральной предельной теоремы гласит, что сходится по распределению к , где является выборочным средним н.о.р. копия некоторого случайной величины .N(0n−−√(X¯n−EX) ˉ X n XN(0,Var(X)) X¯ n X
Во- вторых, предположим , что мы имеем две независимые случайные величины и . Тогда или Y √X Y √
Другими словами, линейная комбинация случайных величин не будет сходиться к линейной комбинации нормалей в рамках CLT, только одна нормаль. Это имеет смысл, потому что линейная комбинация случайных величин является просто другой случайной величиной, к которой CLT может быть применена напрямую.
источник