Ожидаемое значение максимального отношения нормальных переменных

10

Пусть X1,...,Xn являются IID из N(μ,σ2) , и пусть X(i) обозначим i «й наименьший элемент из X1,...,Xn . Как можно было бы оценить верхний предел ожидаемого максимума отношения между двумя последовательными элементами в X(i) ? То есть, как вы можете рассчитать верхнюю границу:

E[maxi=1,...,n1(X(i+1)X(i))]

Литература, которую я смог найти, в основном сфокусирована на соотношении между двумя случайными переменными, что приводит к распределению соотношений, для которого pdf для двух некоррелированных нормальных распределений приведен здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Хотя это позволило бы мне оценить ожидаемое среднее отношение n переменных сверху вниз, я не могу понять, как обобщить эту концепцию, чтобы найти ожидаемое максимальное соотношение n переменных.

Максимум
источник
E[maxi=1,...,n1(X(i+1)X(i))]
E[X(n)X(n1)]

Ответы:

7

Ожидание не определено.

XiFhϵ

(1)F(x)F(0)hx

0<x<ϵf0F(x)F(0)=f(0)x+o(x)h0f(0)

F(0)>01F(1)>0F

t>1

Pr(X(i+1)X(i)>t)=Pr(X(i+1)>tX(i))>Pr(X(i+1)>1, X(i)1/t)>Pr(X(i+1)>1, 1/tX(i)>0, 0X(i1)).

niXj1(0,1/t]i1F

(nni,1,i1)(1F(1))ni(F(1/t)F(0))F(0)i1.

Когда , неравенство обеспечивает нижнюю границу для этого, которая пропорциональна , показывая, чтоt>1/ϵ(1)1/t

Функция выживания из имеет хвост, ведущий асимптотически как : для некоторого положительного числа .S(t)X(i+1)/X(i)1/tS(t)=a/t+o(1/t)a

По определению, ожидание любой случайной величины - это ожидание ее положительной части плюс ожидание ее отрицательной части . Поскольку положительная часть ожидания - если она существует - является интегралом функции выживания (от до ) иmax(X,0)max(X,0)0

0xS(t)dt=0x(1/t+o(1/t))dtlog(x),

положительная часть ожидания расходится.X(i+1)/X(i)

Тот же аргумент, примененный к переменным показывает отрицательную часть ожидания отклонения. Таким образом, ожидание отношения не является даже бесконечным: оно не определено.Xi

Whuber
источник
2
+1 Я сам попробовал «простой» случай и попытался оценить ожидания ... и пришел к тому же выводу: интеграл ожиданий не сходится. Возможно, ОП переформулирует вопрос в другой форме, такой как различия, а не отношенияn=3
волки