Несмещенная оценка параметра Пуассона

Количество несчастных случаев в день - это случайная переменная Пуассона с параметром , в 10 случайно выбранных дней число несчастных случаев было отмечено как 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1, что будет быть беспристрастным оценщиком ?e $\lambda$$e^{\lambda}$

Я попытался сделать это следующим образом: мы знаем, что , но . Тогда каков будет требуемый объективный оценщик?$E(\bar{x})=\lambda=0.8$$E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

Если , то, для . Трудно вычислитьP ( X = k ) = λ k e - λ / k ! k ≥ $X\sim \text{Pois}(\lambda)$$P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$$k\geq 0$

E [ X n _ ] X n _ = X ( X - 1 ) ⋯ ( X - n + 1 ) E [ X n _ ] = λ н . X 1 , ⋯ , X N

$$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$$ но гораздо проще вычислить , где : Вы можете доказать это Самостоятельно - это легкое упражнение. Также я позволю вам доказать следующее: если обозначены как , то следовательно, Пусть . Это следует из того$E[X^{\underline{n}}]$$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$ $$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$$ $X_1,\cdots, X_N$U = ∑ i X i ∼ Pois ( N λ ) E [ U n _ ] = ( N λ ) n = N n λ $\text{Pois}(\lambda)$$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$Z n = U n _ / N $$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$$ $Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

• X 1 … X $Z_n$ являются функциями ваших измерений , ,$X_1$$\dots$$X_N$
• $E[Z_n] = \lambda^n$ ,

Так какмы можем сделать вывод, что$e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

W=∑n≥0Zn/n! E[W]=eλWU∈N0Un_=0n>UZn=0n>

$$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$$ следовательно, ваша непредвзятая оценка, Т.е. . Однако, чтобы вычислить , необходимо оценить сумму , которая кажется бесконечной, но заметим , что , следовательно для . Отсюда следует, что при , поэтому сумма конечна.$W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$$E[W] = e^\lambda$$W$$U\in \mathbb{N}_0$$U^\underline{n} = 0$$n>U$$Z_n = 0$$n>U$

---

Мы можем видеть, что, используя этот метод, вы можете найти объективную оценку для любой функции которая может быть выражена как .f ( λ ) = ∑ n ≥ 0 a n λ $\lambda$$f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

Отсюда следует, что . Мы хотим оценить . Как вы говорите, возможной оценкой будет Используя функцию, генерирующую момент , мы находим, что поэтому смещено. Некоторые догадки предполагают, что $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$$\theta=e^\lambda$

$$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$$ $Y$ $$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$$ $\hat\theta$ $$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$$ может быть беспристрастным для подходящего выбора поправочного коэффициента . Опять же, используя мгф мы находим, что так что это объективно, если что приводит к и как объективная оценка .$a$$Y$ $$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$$ $10(e^a - 1) = 1$$a=\ln\frac{11}{10}$$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$$\theta=e^\lambda$

По теореме Лемана-Шеффе , поскольку является достаточной статистикой для , оценка (функция от ) равна UMVUE для .$Y$$\lambda$$\theta^*$$Y$e λ$e^\lambda$