Есть ли другая интерпретация для гамма-распределения с нецелым параметром формы?

Хорошо известно, что случайная величина, являющаяся гамма-распределением с параметром целочисленной формы $k$, эквивалентна сумме квадратов $k$ нормально распределенных случайных величин.

Но что я могу сказать о гамма-распределенной случайной переменной с нецелым $k$ ? Есть ли вообще какая-то другая интерпретация, кроме гамма-распределения?

Если и Y ∼ G ( β , 1 ) независимы, то X + Y ∼ G ( α + β , 1 ) В частности, если X ∼ G ( α , 1 ) , оно распределяется с такое же распределение, как X 1 + ⋯ + X n ∼ G ( α , $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

$$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$$ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ для любого п ∈ N . (Это свойство называетсябесконечной делимостью.) Это означает, что если X ∼ G ( α , 1 ), когда α не является целым числом, X имеет такое же распределение, что и Y + Z, причем Z не зависит от Y и Y ∼ G ( ⌊ α ⌋ , 1 $$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$$ $n\in\mathbb N$$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha$$X$$Y+Z$$Z$$Y$ Это также означает, что целочисленные формы α не имеют особого значения для гаммы. $$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$$ $\alpha$

И наоборот, если с α < 1 , оно имеет то же распределение, что и Y U 1 / α, когда Y не зависит от U ∼ U ( 0 , 1 ) и Y ∼ G ( α + 1 , 1 ) И, следовательно, распределение G ( α , 1 ) инвариантно относительно X ∼ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha<1$$YU^{1/\alpha}$$Y$$U\sim{\cal U}(0,1)$

$$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$$ ${\cal G}(\alpha,1)$ $$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$$