В CLT почему ?

Пусть - независимые наблюдения из распределения со средним значением и дисперсией , когда , то$X_1,...,X_n$$\mu$$\sigma^2 < \infty$$n \rightarrow \infty$

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$$

Почему это означает, что

$$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$$

Ваша интерпретация немного неверна. Центральная предельная теорема (CLT) подразумевает, что

$$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$$

Это связано с тем, что CLT является асимптотическим результатом, и мы на практике имеем дело только с конечными выборками. Однако, когда размер выборки достаточно велик, мы предполагаем, что результат CLT верен в приближении, и, таким образом,

$$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$$

Это связано с тем, что для случайной величины и констант , (используется на втором шаге) и , (это используется на втором последнем шаге).$X$$a,b$$\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$$E(b + X) = b + E(X)$$\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Прочитайте это для более подробного объяснения алгебры.

Самый простой способ убедиться в этом - посмотреть на среднее значение и дисперсию случайной величины .$\bar X_n$

Итак, утверждает, что среднее значение равно нулю, а дисперсия равна единице. Следовательно, мы имеем для среднего значения:$\mathcal{N}(0,1)$

$$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$$ Использование , где - константы, мы получаем: $E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$$a,b$ $$\bar{X}_n\approx\mu$$

Теперь, используя , где - константы, получаем следующие для дисперсии:$\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$$a,b$

$$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$$ $$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$$

Теперь мы знаем среднее значение и дисперсию , а гауссово (нормальное) распределение с этими средним и дисперсией равно$\bar X_n$$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Вы можете задаться вопросом, зачем проходить через все эти алгебры? Почему бы непосредственно не доказать, что сходится к ?$\bar X_n$$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Причина в том, что в математике трудно (невозможно?) Доказать сходимость к изменяющимся вещам, т. Е. Правая сторона оператора сходимости должна быть исправлена, чтобы математики могли использовать свои уловки для доказательства утверждений. изменения экспрессии с , что является проблемой. Таким образом, математики преобразуют выражения таким образом, чтобы правая часть была фиксированной, например, - это хорошая фиксированная правая часть.$\rightarrow$$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$$n$$\mathcal{N}(0,1)$

Это не подразумевает нормальность , кроме как в приближении. Но если мы на мгновение представим, что точно стандартная нормаль, то мы получим результат, что normal когда нормальный . Одним из способов увидеть это является функция, генерирующая момент$\bar{X}_n$$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$$\tau Z + \mu \sim$$(\mu, \tau^2)$$Z \sim$$(0, 1)$

$$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$$

который является нормальным мгф$(\mu, \tau^2)$