Два образца хи-квадрат

10

Этот вопрос взят из книги Ван дер Ваарта «Асимптотическая статистика», стр. 253. № 3:

Предположим, что и являются независимыми полиномиальными векторами с параметрами и . При нулевой гипотезе, что показывают, чтоXmYn(m,a1,,ak)(n,b1,,bk)ai=bi

χ 2 к - 1 с я=(Хм,я+Уп,я)/(т+п)

i=1k(Xm,imc^i)2mc^i+i=1k(Yn,inc^i)2nc^i
имеет . где .χk12c^i=(Xm,i+Yn,i)/(m+n)

Мне нужна помощь, чтобы начать. Какая стратегия здесь? Мне удалось объединить два слагаемых в:

i=1k(mYn,inXm,i)2mn(m+n)c^i

но это не будет работать с CLT, потому что это взвешенная комбинация и . Не уверен, что это правильный путь. Какие-либо предложения?Y nXmYn

РЕДАКТИРОВАТЬ: если то это довольно легко, потому что мы получаемm=n

mYnnXmmn(m+n)=YnXm(m+n)

где числитель можно рассматривать как сумму разностей многочленных переменных, поэтому мы можем применить CLT и затем завершить его с помощью теоремы 17.2 из той же главы. Тем не менее, я не могу понять, как заставить это работать в этой ситуации с различными размерами выборки. Любая помощь?(1,a1,,ak)

Ссылка на 17-ю главу Google Книги Ван дер Ваарта

bdeonovic
источник

Ответы:

6

Сначала некоторые обозначения. Пусть и обозначают категориальную последовательность, связанную с и , то есть . Пусть . Рассмотрим бинеризации где - дельта Кронекера. Итак, мы имеем{ Y t } 1 , , n X m Y nPr { X t =i } =ai,Pr { Y t =i } =biN=n+m X я{Xt}1,,m{Yt}1,,nXmYnPr{Xt=i}=ai,Pr{Yt=i}=biN=n+m δi,j1i=jXm,i= N t = 1 Xt ,

Xi=(X1,i,,XN,i)=(δi,X1,,δi,Xn,0,,0)Yi=(Y1,i,,YN,i)=(0,,0,δi,Y1,,δi,Yn)
δi,j1i=j
Xm,i=t=1NXt,i=t=1mδi,XtYn,i=t=1NYt,i=t=1nδi,Yt

Теперь мы начинаем доказательство. Сначала мы объединяем два слагаемых тестовой статистики. Обратите внимание, что Таким образом, мы можем записать статистику теста как

Xm,imc^i=(n+m)Xm,im(Xm,i+Yn,i)n+m=nXm,imYn,in+mYn,inc^i=(n+m)Yn,in(Xm,i+Yn,i)n+m=mYn,inXm,in+m
S=i=1k(Xm,imc^i)2mc^i+i=1k(Yn,inc^i)2nc^i=i=1k(nXm,imYn,i)2(n+m)2mc^i+i=1k(nXm,imYn,i)2(n+m)2nc^i=i=1k(nXm,imYn,i)2nm(n+m)c^i

Далее обратите внимание, что с следующие свойства

nXm,imYn,i=t=1NnXt,imYt,i=Zi
E[Zi]=nE[Xm,i]mE[Yn,i]=nmainmai=0Var[Zi]=Var[nXm,imYn,i]=n2Var[Xm,i]m2Var[Yn,i]Note Xm,i and Yn,i are independent=n2mai(1ai)+m2nai(1ai)=nm(n+m)ai(1ai)Cov[Zi,Zj]=E[ZiZj]E[Zi]E[Zj]=E[(nXm,imYn,i)(nXm,jmYn,j)]=n2(maiaj+m2aiaj)2n2m2aiaj+m2(naiaj+n2aiaj)=nm(n+m)aiaj

и поэтому с помощью многомерного CLT мы имеем где -й элемент , . Так как По Слуцкому у нас есть где - единичная матрица,

1nm(n+m)Z=nXmmYnnm(n+m)DN(0,Σ)
(i,j)Σσij=ai(δijaj)c^=(c^1,,c^k)p(a1,,ak)=a
nXmmYnnm(n+m)c^DN(0,Ikaa)
Ikk×ka=(a1,,ak) . Поскольку имеет собственное значение 0 кратности 1 и собственное значение 1 кратности , по теореме о непрерывном отображении (или см. Лемма 17.1, теорема 17.2 Ван-дер-Ваарта):k-1 k i=1(n X m , i -m Y n , i ) 2Ikaak1
i=1k(nXm,imYn,i)2nm(n+m)c^iDχk12
bdeonovic
источник