Сначала некоторые обозначения. Пусть и обозначают категориальную последовательность, связанную с и , то есть . Пусть . Рассмотрим бинеризации
где - дельта Кронекера. Итак, мы имеем{ Y t } 1 , … , n X m Y nPr { X t =i } =ai,Pr { Y t =i } =biN=n+m X ∗ я{ XT}1 , … , м{ YT}1 , … , nИксмYNPr { XT= я } = ая, Pr { YT= я } = бяN= n + m δi,j≡1i=jXm,i= N ∑ t = 1 X ∗ t ,
Икс*яY*я= ( X*1 , я, … , X*N, я) = ( δя , х1, … , Δя , хN, 0 , … , 0 )= ( Y*1 , я, … , Y*N, я) = ( 0 , … , 0 , δя , Y1, … , Δя , YN)
δя , дж≡ 1я = jИксм , я= ∑т = 1NИкс*т , я= ∑т = 1мδя , хTYн , я= ∑т = 1NY*т , я= ∑т = 1Nδя , YT
Теперь мы начинаем доказательство. Сначала мы объединяем два слагаемых тестовой статистики. Обратите внимание, что
Таким образом, мы можем записать статистику теста как
Иксм , я- м с^яYн , я- н с^я= ( n + m ) Xм , я- м ( хм , я+ Yн , я)н + м= n Xм , я- м Yн , ян + м= ( n + m ) Yн , я- n ( Xм , я+ Yн , я)н + м= м Yн , я- n Xм , ян + м
S= ∑я = 1К( Хм , я- м с^я)2м с^я+ ∑я = 1К( Yн , я- н с^я)2н с^я= ∑я = 1К( п Xм , я- м Yн , я)2( п + м )2м с^я+ ∑я = 1К( п Xм , я- м Yн , я)2( п + м )2н с^я= ∑я = 1К( п Xм , я- м Yн , я)2n m ( n + m ) c^я
Далее обратите внимание, что
с следующие свойства
n Xм , я- м Yн , я= ∑т = 1Nn X*т , я- м Y*т , я= Zя
E [ Zя]Var [ Zя]Ков [ Zя, ZJ]= n E [ Xм , я] - м Е [ Ун , я]= п м ая- п мя= 0= Var [ n Xм , я- м Yн , я]= п2Вар [ Хм , я] - м2Var [ Yн , я]Примечание Xм , я и Yн , я независимы= п2м ая( 1 - ая) + м2пя( 1 - ая)= n m ( n + m ) aя( 1 - ая)= E [ ZяZJ] - E [ Zя] E [ ZJ]= E [ ( n Xм , я- м Yн , я) ( n Xм , дж- м Yп , J) ]= п2( - мяaJ+ м2aяaJ) - 2 н2м2aяaJ+м2( - няaJ+ n2aяaJ)= - n m ( n + m ) aяaJ
и поэтому с помощью многомерного CLT мы имеем где -й элемент , . Так как По Слуцкому у нас есть где - единичная матрица,
1n m ( n + m )---------√Z = n Xм- м YNn m ( n + m )---------√→DN ( 0 , Σ )
( я , j )Σσя жзнак равно ая( δя ж-аJ)с^= ( с^1, … , С^К) →п( а1, ... ,К) = аn Xм- м YNn m ( n + m )---------√с^→DN ( 0 , яК- а--√a--√')
яКк × кa--√= ( а1--√, ... ,К--√) . Поскольку имеет собственное значение 0 кратности 1 и собственное значение 1 кратности , по теореме о непрерывном отображении (или см. Лемма 17.1, теорема 17.2 Ван-дер-Ваарта):
k-1 k ∑ i=1(n X m , i -m Y n , i ) 2яК- а--√a--√'к - 1Σя = 1К( п Xм , я- м Yн , я)2n m ( n + m ) c^я→Dχ2к - 1