Вопрос: как выглядит двумерное биномиальное распределение в трехмерном пространстве?
Ниже приведена конкретная функция, которую я хотел бы визуализировать для различных значений параметров; а именно , и .
Обратите внимание, что есть два ограничения; и . Кроме того, является положительным целым числом, скажем, .n 5
Мы сделали две попытки построить функцию, используя LaTeX (TikZ / PGFPLOTS). При этом я получаю графики ниже для следующих значений: , и , а , и соответственно. Мне не удалось реализовать ограничение на значения домена; , так что я немного озадачен.p 1 = 0,1 p 2 = 0,9 n = 5 p 1 = 0,4 p 2 = 0,6 x 1 + x 2 = n
Визуализация, произведенная на любом языке, подойдет (R, MATLAB и т. Д.), Но я работаю в LaTeX с TikZ / PGFPLOTS.
Первая попытка
, ир 2 = 0,9
Вторая попытка
, ир 2 = 0,6
Редактировать:
Для справки, вот статья, содержащая некоторые графики. Название статьи: «Новое двумерное биномиальное распределение» Атану Бисвасы и Цзин-Шанга Хванга. Письма о статистике и вероятности 60 (2002) 231–240.
Изменить 2: Для ясности и в ответ на @GlenB в комментариях ниже приведен снимок того, как дистрибутив был представлен мне в моей книге. Книга не относится к вырожденным / невырожденным случаям и так далее. Это просто представляет это так, и я пытался визуализировать это. Ура! Кроме того, как отмечает @JohnK, существует вероятность опечатки в отношении x1 + x1 = 1, которая, по его мнению, должна быть x1 + x1 = n.
Изображение уравнения из:
Спанос А. (1986) Статистические основы эконометрического моделирования. Издательство Кембриджского университета
Ответы:
Здесь есть две части: сначала вам нужно выяснить, каковы индивидуальные вероятности, а затем вам нужно как-то построить их.
Биномиальный PMF - это просто набор вероятностей по ряду «успехов». Двумерный биномиальный PMF будет набором вероятностей по сетке возможных комбинаций «успехов». В вашем случае у вас , поэтому (имея в виду, что успехов возможно), есть возможных результатов в сетчатом / двумерном биномиальном распределении.ni=nj=5 0 6×6=36
Сначала мы можем вычислить предельные биномиальные PMF, потому что это так просто. Поскольку переменные независимы, каждая совместная вероятность будет просто произведением предельных вероятностей; это матричная алгебра. Здесь я демонстрирую этот процесс, используя
R
код:На данный момент мы имеем две необходимые матрицы вероятностей. Нам просто нужно решить, как мы хотим построить их. Если честно, я не большой поклонник 3D-графиков. Поскольку,
R
кажется, согласен со мной, я сделал эти графики в Excel:b19
:b46
:источник
Ответ Ганга - хороший ответ для фактического двумерного бинома, хорошо объясняющий проблемы (я бы рекомендовал принять его как хороший ответ на заглавный вопрос, который, скорее всего, будет полезен для других).
Математический объект, который вы фактически представляете в своем редактировании, на самом деле является одномерным масштабированным биномом. Здесь - это не значение, взятое из числа биномов, а из пропорции (бином, деленный на ).x1 n
Итак, давайте определимся правильно. Обратите внимание, что определение случайной величины фактически не предлагается, поэтому у нас осталось немного догадок.
Для , это выглядит так:n=6,p1=0.3
Мы можем легко поместить значения на приведенный выше график, просто поместив второй набор меток под значениями равными (возможно, другого цвета), чтобы указать значение, принятое .х 1 1 - х 1 х 2x2 x1 1−x1 x2
Мы можем рассматривать его как (масштабированный) вырожденный двумерный бином:
но довольно сложно назвать то, что определено в книге, двумерным биномом (поскольку это фактически одномерный бином).
Предполагая, что кто-то захочет сгенерировать график, подобный трехмерному, этот небольшой фрагмент кода (R) будет довольно близок ко второму графику выше:
(Вам нужен
scatterplot3d
пакет, который содержит функцию с тем же именем.)«Истинный» (невырожденный) двумерный бином имеет вариацию в обеих переменных одновременно. Вот пример одного конкретного вида двумерного бинома (в данном случае не независимого). Я использовал разные цвета на графике, потому что иначе слишком легко заблудиться в лесу «палок».
[1]: Хамдан, М.А. (1972),
"
Международное статистическое обозрение " Каноническое расширение двумерного биномиального распределения с неравными краевыми индексами " , 40 : 3 (декабрь), с. 277-280.
источник
Mathematica
сейчас достаточно силен в таких вещах - у него есть решение вашей проблемы прямо в документации . С небольшими дополнениями я сделал модель для игры (p = p1 = 0.4
для лучшего визуального представления). Так выглядит интерфейс и как им можно управлять.отрывок
Главное здесь
PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}]
, я думаю, самоочевидно.Multinomial
просто имейте в виду, что вы можете взять много распределений с каждымpi
для соответствующей переменной. Простая форма естьBinomialDistribution
. Конечно, я мог бы сделать это вручную, но правило, если у вас есть встроенная функция - вы должны использовать ее.Если вам нужны комментарии по структуре кода, просто дайте мне знать.
источник