Действительно ли теорема Слуцкого остается в силе, когда две последовательности сходятся к невырожденной случайной величине?

Я запутался в некоторых деталях о теореме Слуцкого :

Пусть , - две последовательности скалярных / векторных / матричных случайных элементов.$\{X_n\}$$\{Y_n\}$

Если сходится по распределению к случайному элементу а сходится по вероятности к константе , то при условии, что обратим, где обозначает сходимость в распределении.$X_n$$X$$Y_n$$c$

$$\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$$ $c$${\xrightarrow {d}}$

Если обе последовательности в теореме Слуцкого обе сходятся к невырожденной случайной переменной, остается ли эта теорема действительной, и если нет (кто-то может привести пример?), Каковы дополнительные условия, чтобы сделать ее действительной?

Теорема Слуцкого не распространяется на две последовательности, сходящиеся в распределениях к случайной переменной. Если сходится по распределению к , вполне может не сойтись или могут сходиться к чему - то другому , чем . Y X n + Y n X + $Y_n$$Y$$X_n+Y_n$$X+Y$

Например, если для всех -х, не сходится к разности двух случайных величин с распределением же как . n X n + Y n$Y_n=-X_n$$n$$X_n+Y_n$$X$

Другой контрпример - это когда последовательности и независимы и оба сходятся в распределении к нормальной переменной , если определено и , затем Подробнее об этом примере см. В ответе Davide .{ Y n } N ( 0 , 1 ) X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) X $\{X_n\}$$\{Y_n\}$$\text{N}(0,1)$$X_1\sim\text{N}(0,1)$X n d → X 1 Y n d → X 2 X n + Y n ⧸ d → X 1 + X 2 = $X_2=-X_1$

Предположим, что - это гауссов центрированный вектор, ковариационная матрица которого является с . Определите и для . Затем и , где и - стандартная нормальная случайная величина. Однако является гауссовским, центрированным, а его дисперсия равна . Поскольку ничего не известно о распределении , мы не можем утверждать, что в распределении.$(X_0,Y_0)$$\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$$|\rho|\leqslant 1$$X_n:=X_0$$Y_n:=Y_0$$n\geqslant 1$$X_n\to X$$Y_n\to Y$$X$$Y$$X_n+Y_n$$2+2\rho$$X+Y$$X_n+Y_n\to X+Y$

Эти примеры показывают, что в общем случае мы можем иметь распределение и , но если у нас нет информации о распределении , сходимость может не получиться.$X_n\to X$$Y_n\to Y$$X+Y$$X_n+Y_n\to X+Y$

Конечно, все хорошо, если в распределении (например, если не зависит от и от В общем, мы можем только утверждать, что последовательность туго (то есть для каждого положительного мы можем найти такой, что ). Это подразумевает что мы можем найти возрастающую последовательность целых чисел , такие , что сходится по распределению к некоторой случайной величины .$(X_n,Y_n)\to (X,Y)$$X_n$$Y_n$$X$$Y$$(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$$\varepsilon$$R$$\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$$(n_k)_{k\geqslant 1}$$(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$$Z$

Предложение. Существуют последовательности гауссовских случайных величин и , так что для любой мы можем найти возрастающую последовательность целых чисел , что сходится по распределению к .$(X_n)_{n\geqslant 1}$$(Y_n)_{n\geqslant 1}$$\sigma\in [0,2]$$(n_k)_{k\geqslant 1}$$(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$$N(0,\sigma^2)$

Доказательство. Рассмотрим перечисление рациональных чисел и биекцию . Для определите как гауссов центрированный вектор ковариационной матрицы . При таком выборе можно видеть, что заключение предложения удовлетворяется, когда рациональна. Используйте аргумент аппроксимации для общего случая.[ - 1 , 1 ] τ : N → N 2 n ∈ τ - 1 ( { j } ) × N ( X n , Y n ) ( 1 r j r j 1 )$(r_j)$$[-1,1]$$\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$$n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$$(X_n,Y_n)$$\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$$\sigma$