Ожидаемое значение случайных величин iid

Я наткнулся на этот вывод, который я не понимаю: если - это случайные выборки размера n, взятые из совокупности среднего и дисперсии , то μ σ $X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

Это где я потерян. Используемый аргумент потому что они одинаково распределены. На самом деле это не так. Предположим, у меня есть образец, а затем, если случайным образом выбрать 2 числа с заменой и повторить эту процедуру 10 раз, тогда я получу 10 образцов: (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). Вот как это выглядит для 2 случайных величин . Теперь, если я возьму ожидаемое значение я получу,S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } X 1 , X 2 X $E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Но ожидаемая стоимость населения составляет 3,5. Что на самом деле не так в моих рассуждениях?

Прежде всего, не являются образцами. Это случайные величины, как указал Тим. Предположим, вы проводите эксперимент, в котором вы оцениваете количество воды в продукте; для этого вы берете, скажем, 100 измерений содержания воды для 100 различных продуктов питания. Каждый раз вы получаете значение содержания воды. Здесь содержание воды является случайной величиной, и теперь предположим, что в мире существует в общей сложности 1000 продуктов питания. 100 различных продуктов питания будут называться образцом этих 1000 продуктов питания. Обратите внимание, что содержание воды является случайной величиной, и 100 значений содержания воды составляют образец. $X_1, X_2,...,X_n$

Предположим, что вы случайным образом выбираете n значений из распределения вероятностей, независимо и одинаково. Дано, что . Теперь вам нужно узнать ожидаемое значение . Поскольку каждый из выбирается независимо и идентично, ожидаемое значение каждого из равно . Поэтому вы получаете .ˉ X X i X i μ n $E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

Третье уравнение в вашем вопросе - это условие, чтобы оценщик был объективным оценщиком параметра совокупности. Условие для объективной оценки:

где theta - параметр совокупности, а - параметр, оцениваемый по выборке.$\bar{\theta}$

В вашем примере ваше население и вам была дана выборка из значений которые являются . Вопрос в том, как бы вы оценили среднюю численность населения, учитывая эту выборку. Согласно вышеприведенной формуле среднее значение выборки является объективной оценкой среднего значения для населения. Беспристрастная оценка не обязательно должна быть равна фактическому среднему значению, но она настолько близка к среднему значению, насколько вы можете получить эту информацию.10 { 5 , 2 , 1 , 4 , 4 , 2 , 6 , 2 , 3 , 5 $\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$