Среднее значение выбранного штампа из бесконечной серии бросков

13

Если я кидаю пару кубиков бесконечное количество раз и всегда выбираю более высокое значение из двух, будет ли ожидаемое среднее из самых высоких значений превышать 3,5?

Казалось бы, так и должно быть, потому что если бы я бросил миллион костей и выбрал самое высокое значение каждый раз, шансы были бы ошеломляющими, что шестерки будут доступны в каждом броске. Таким образом, ожидаемое среднее значение должно быть примерно 5.999999999999 ...

Тем не менее, я не могу понять, какое ожидаемое значение было бы в моем примере, используя всего 2 кубика. Может ли кто-нибудь помочь мне прийти на номер? Это едва ли превысит 3,5? Это даже то, что можно рассчитать?

Джейсон
источник
3
Можете ли вы перечислить образец пространства? Перечислите возможности для примера с 2 кубиками.
Soakley

Ответы:

6

Эксперимент также может быть смоделирован. Этот подход полезен, когда перечисление сложно (например, бросание 3 кубика).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531
Nishanth
источник
30

Для этого не нужно использовать симуляцию, общий случай довольно легко анализировать. Пусть будет количеством костей, а X будет максимальным броском, сделанным при броске n костей.nXn

Отсюда следует, что и вообще P(Xk)=(k

P(X1)=(16)n
P(Xk)=(k6)n
k
P(X=k)=P(xk)P(xk1)=(k6)n(k16)n.

n=2

Erik
источник
2
P(X=6)=1n(56)n1n
11

Я предлагаю просто проработать тривиальный случай, чтобы увидеть ответ.

[(1,1)(1,2)...(2,1)(2,2)...(3,1)(3,2)......]

Ожидаемое значение суммы равно 7. Это так, потому что рулоны являются идентичными независимыми чертежами, поэтому их можно суммировать. Ожидание бросания кубического кубика составляет 3,5.

[12...22...33......]

E[x]=Σ(xP(x))=1/36(1)+1/36(2)+...+1/36(6)4.47

nnn

d0rmLife
источник
2

Предполагая, что каждая из 36 комбинаций имеет равную вероятность, нам просто нужно сложить значения каждой из 36 комбинаций и разделить на 36, чтобы получить среднее значение:

  1. 1 возможность: 11
  2. 3 варианта: 12, 21, 22
  3. 5 возможностей: 13, 23, 31, 32, 33
  4. 7 возможностей: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
  5. 9 возможностей: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
  6. 11 возможностей: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4.47222 ..

Briguy37
источник
1

Troll Dice Roller - это инструмент для определения вероятностей игры в кости. У него есть статья, объясняющая реализацию, но она довольно академическая.

max(2d6) доходность

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642
QuestionC
источник