Каково распределение разных многогранных кубиков, одновременно раскатанных?

Возьмите 5 платоновых тел из набора костей Dungeons & Dragons. Они состоят из 4-сторонних, 6-сторонних (обычных), 8-сторонних, 12-сторонних и 20-сторонних кубиков. Все начинаются с номера 1 и увеличиваются на 1 до их общего количества.

Скатайте их все сразу, возьмите их сумму (минимальная сумма 5, максимальная 50). Сделайте это несколько раз. Что такое распределение?

Очевидно, что они будут стремиться к нижнему пределу, так как число ниже, чем выше. Но будут ли заметные точки перегиба на каждой границе отдельного штампа?

[Редактировать: По-видимому, то, что казалось очевидным, не так. По словам одного из комментаторов, среднее значение составляет (5 + 50) /2 = 27,5. Я не ожидал этого. Я все еще хотел бы увидеть график.] [Edit2: имеет больше смысла видеть, что распределение n костей такое же, как и для каждого кубика в отдельности, сложенного вместе.]

Я не хотел бы делать это алгебраически, но вы можете вычислить pmf достаточно просто (это просто свертка, которая действительно проста в электронной таблице).

Я рассчитал это в электронной таблице *:

i        n(i)   100 p(i)
5         1     0.0022
6         5     0.0109
7        15     0.0326
8        35     0.0760
9        69     0.1497
10      121     0.2626
11      194     0.4210
12      290     0.6293
13      409     0.8876
14      549     1.1914
15      707     1.5343
16      879     1.9076
17     1060     2.3003
18     1244     2.6997
19     1425     3.0924
20     1597     3.4657
21     1755     3.8086
22     1895     4.1124
23     2014     4.3707
24     2110     4.5790
25     2182     4.7352
26     2230     4.8394
27     2254     4.8915
28     2254     4.8915
29     2230     4.8394
30     2182     4.7352
31     2110     4.5790
32     2014     4.3707
33     1895     4.1124
34     1755     3.8086
35     1597     3.4657
36     1425     3.0924
37     1244     2.6997
38     1060     2.3003
39      879     1.9076
40      707     1.5343
41      549     1.1914
42      409     0.8876
43      290     0.6293
44      194     0.4210
45      121     0.2626
46       69     0.1497
47       35     0.0760
48       15     0.0326
49        5     0.0109
50        1     0.0022

Здесь - количество способов получения каждой суммы ; - вероятность, где . Наиболее вероятные результаты происходят менее чем в 5% случаев.i p ( i ) p ( i ) = n ( i ) /$n(i)$$i$$p(i)$$p(i) = n(i)/46080$

Ось Y - это вероятность, выраженная в процентах.

* Метод, который я использовал, похож на процедуру, описанную здесь , хотя точная механика, участвующая в его настройке, меняется по мере изменения деталей пользовательского интерфейса (этому посту уже около 5 лет, хотя я обновил его около года назад). И на этот раз я использовал другой пакет (на этот раз я сделал это в Calc LibreOffice). Тем не менее, это суть этого.

Итак, я сделал этот код:

d4 <- 1:4  #the faces on a d4
d6 <- 1:6  #the faces on a d6
d8 <- 1:8  #the faces on a d8
d10 <- 1:10 #the faces on a d10 (not used)
d12 <- 1:12 #the faces on a d12
d20 <- 1:20 #the faces on a d20

N <- 2000000  #run it 2 million times
mysum <- numeric(length = N)

for (i in 1:N){
     mysum[i] <- sample(d4,1)+
                 sample(d6,1)+
                 sample(d8,1)+
                 sample(d12,1)+
                 sample(d20,1)
}

#make the plot
hist(mysum,breaks = 1000,freq = FALSE,ylim=c(0,1))
grid()

Результатом является этот сюжет.

Это выглядит довольно гауссовски. Я думаю, что мы (снова), возможно, продемонстрировали изменение центральной предельной теоремы.

Небольшая помощь вашей интуиции:

Сначала рассмотрим, что произойдет, если вы добавите одну ко всем граням одного кубика, например, d4. Таким образом, вместо 1,2,3,4 лица теперь показывают 2,3,4,5.

Сравнивая эту ситуацию с оригиналом, легко увидеть, что общая сумма теперь на единицу больше, чем раньше. Это означает, что форма распределения неизменна, он просто перемещается на один шаг в сторону.

Теперь вычтите среднее значение каждого кубика со всех сторон этого кубика.

Это дает кости, отмеченные

• $-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$
• $-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$
• $-{7\over 2}$$-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$${7\over 2}$

и т.п.

Теперь сумма этих костей должна иметь ту же форму, что и оригинал, только смещенная вниз. Должно быть понятно, что эта сумма симметрична относительно нуля. Поэтому исходное распределение также симметрично.

> p  <-  q  <-  c(0, rep(1/6,6))
> pq  <-  convolve(p,rev(q),type="open")
> zapsmall(pq)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111
 [7] 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111 0.08333333 0.05555556
[13] 0.02777778

и вы можете проверить, что это правильно (ручной расчет). Теперь для реального вопроса, пять кубиков с 4,6,8,12,20 сторонами. Я сделаю расчет, предполагая, что для каждого кубика одинаковые пробники. Потом:

> p1  <-  c(0,rep(1/4,4))
> p2 <-  c(0,rep(1/6,6))
> p3 <-  c(0,rep(1/8,8))
> p4  <-  c(0, rep(1/12,12))
> p5  <-  c(0, rep(1/20,20))
> s2  <-  convolve(p1,rev(p2),type="open")
> s3 <-  convolve(s2,rev(p3),type="open")
> s4 <-  convolve(s3,rev(p4),type="open")
> s5 <- convolve(s4, rev(p5), type="open")
> sum(s5)
[1] 1
> zapsmall(s5)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00002170
 [7] 0.00010851 0.00032552 0.00075955 0.00149740 0.00262587 0.00421007
[13] 0.00629340 0.00887587 0.01191406 0.01534288 0.01907552 0.02300347
[19] 0.02699653 0.03092448 0.03465712 0.03808594 0.04112413 0.04370660
[25] 0.04578993 0.04735243 0.04839410 0.04891493 0.04891493 0.04839410
[31] 0.04735243 0.04578993 0.04370660 0.04112413 0.03808594 0.03465712
[37] 0.03092448 0.02699653 0.02300347 0.01907552 0.01534288 0.01191406
[43] 0.00887587 0.00629340 0.00421007 0.00262587 0.00149740 0.00075955
[49] 0.00032552 0.00010851 0.00002170
> plot(0:50,zapsmall(s5))

Сюжет показан ниже:

Теперь вы можете сравнить это точное решение с моделированием.

Центральная предельная теорема отвечает на ваш вопрос. Хотя его детали и доказательства (и эта статья в Википедии) несколько сногсшибательны, суть этого проста. В Википедии говорится, что

сумма числа независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями будет стремиться к нормальному распределению по мере роста числа переменных.

Эскиз доказательства для вашего случая:

Когда вы говорите «бросить все кости одновременно», каждый бросок всех кубиков является случайной величиной.

На ваших кубиках напечатаны конечные числа. Таким образом, сумма их значений имеет конечную дисперсию.

Каждый раз, когда вы бросаете все кости, распределение вероятности исхода одинаково. (Кости не меняются между бросками.)

Если вы бросаете кубики честно, то каждый раз, когда вы их бросаете, результат будет независимым. (Предыдущие броски не влияют на будущие броски.)

Независимый? Проверьте. Идентично распределены? Проверьте. Конечная дисперсия? Проверьте. Поэтому сумма стремится к нормальному распределению.

Это даже не имело бы значения, если бы распределение для одного броска всех игральных костей было перекошено в сторону нижнего конца. Я бы не имел значения, были ли в этом дистрибутиве бугорки. Все суммирование сглаживает его и делает его симметричным гауссовским. Вам даже не нужно делать какую-либо алгебру или симуляцию, чтобы показать это! Это удивительное понимание CLT.