Когда сходятся приближения рядов Тейлора к ожиданиям (целых) функций?

10

Возьмите ожидание вида для некоторой одномерной случайной величины и целой функции (т. Интервал сходимости - это целая вещественная линия)E(f(X))Xf()

У меня есть функция, генерирующая моменты для и, следовательно, я могу легко вычислить целые моменты. Используйте ряд Тейлора вокруг а затем примените ожидание в терминах ряда центральных моментов, = f (\ mu) + \ sum_ {n = 2 } ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (\ mu)} {n!} E \ left [(x - \ mu) ^ n \ right] Сократить эту серию, E_N (f (x) ) = f (\ mu) + \ sum_ {n = 2} ^ {N} \ frac {f ^ {(n)} (\ mu)} {n!} E \ left [(x - \ mu) ^ n \правильно] XμE(x)

E(f(x))=E(f(μ)+f(μ)(xμ)+f(μ)(xμ)22!+)
=f(μ)+n=2f(n)(μ)n!E[(xμ)n]
EN(f(x))=f(μ)+n=2Nf(n)(μ)n!E[(xμ)n]

Мой вопрос: при каких условиях для случайной величины (а также для чего-либо дополнительного для f() ) аппроксимация ожидания сходится, когда я добавляю термины (то есть limNEN(f(x))=E(f(x)) ).

Поскольку в моем случае он не сходится (случайная переменная Пуассона и f(x)=xα ), есть ли какие-то другие приемы для нахождения приблизительных ожиданий с целочисленными моментами, когда эти условия не выполняются?

jlperla
источник
1
смотрите здесь: stats.stackexchange.com/questions/70490/…
Джонатан
@ Джонатан Спасибо. Смотрите мои правки сейчас, когда это стало понятнее. Очень полезно, хотя я не мог его взломать. Отсюда видно, что достаточным условием для этого является то, что моя случайная величина сильно сконцентрирована? Хотя мне трудно разобраться, как именно использовать неравенство Хоффдинга и т. Д. Для сравнения с этими заметками.
jlperla
Что вы имеете в виду «пуассоновская случайная величина и »? Это один или два случая, и что такое PDF? f(x)=xα
Карл
@Carl Это несколько лет назад, но, если я помню, переменная была для некоторого с PDF из en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Именно была функцией, которую я ожидал. то естьxPoisson(λ)λf(x)E(f(x))
Jlperla
Не уверен, что вы спрашиваете. Как насчет того, что высшие моменты от распределения Пуассона о происхождении являются многочлены Тушара в : где {фигурные скобки} обозначают числа Стирлинга второго рода? mkλ
mk=i=0kλi{ki},
Карл

Ответы:

1

По вашему предположению, что является вещественно-аналитическим, Сходится почти наверняка (фактически наверняка) к .f

yn=f(μ)+f(μ)(xμ)+f(μ)(xμ)22!++f(n)(μ)(xμ)nn!
f(x)

Стандартным условием, при котором в качестве сходимости подразумевается сходимость ожидания, т.е. является что как для некоторого такого, что . (Теорема о доминируемой сходимости.)

E[f(x)]=E[limnyn]=limnE[yn],
|yn|yyE[y]<

Это условие будет выполнено, если степенной ряд сходится абсолютно как: и

y=n0|f(n)(μ)||xμ|nn!<a.s.
E[y]<.

Ваш пример случайной переменной Пуассона и , , предполагает, что выше интегрируемость критерия абсолютного предела является самой слабой из возможных.f(x)=xααZ+

Майкл
источник
-1

Приближение будет сходиться, если функция f (x) допускает разложение в степенной ряд, т. Е. Существуют все производные. Это также будет полностью достигнуто, если производные определенного порога и выше равны нулю. Вы можете обратиться к Популису [3-4] и Старку и Вудсу [4].

Э. Мербан
источник
«Это также будет полностью достигнуто, если производные определенного порога и выше равны нулю». Если производные существуют и равны нулю, разве это не другой способ сказать полином?
накопление
Это неправда. Когда «все производные существуют» в точке расширения степенного ряда, степенные ряды никуда не должны сходиться . (Стандартным примером является ряд Маклаурина ) Другой - это то, что даже когда ряд действительно сходится в некоторой точке, он не должен сходиться везде. Простым примером является серия МаклауринаКогда это происходит, сходимость зависит от деталей случайной величины. Например, предположим, что имеет какое-либо распределение t-студента и рассмотримВ конце концов, даже не существует! e1/x2.1/(1x).X
1/(1X)=1+X+X2++Xn+.
E(Xn)
whuber