Возьмите ожидание вида для некоторой одномерной случайной величины и целой функции (т. Интервал сходимости - это целая вещественная линия)
У меня есть функция, генерирующая моменты для и, следовательно, я могу легко вычислить целые моменты. Используйте ряд Тейлора вокруг а затем примените ожидание в терминах ряда центральных моментов, = f (\ mu) + \ sum_ {n = 2 } ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (\ mu)} {n!} E \ left [(x - \ mu) ^ n \ right] Сократить эту серию, E_N (f (x) ) = f (\ mu) + \ sum_ {n = 2} ^ {N} \ frac {f ^ {(n)} (\ mu)} {n!} E \ left [(x - \ mu) ^ n \правильно]
Мой вопрос: при каких условиях для случайной величины (а также для чего-либо дополнительного для ) аппроксимация ожидания сходится, когда я добавляю термины (то есть ).
Поскольку в моем случае он не сходится (случайная переменная Пуассона и ), есть ли какие-то другие приемы для нахождения приблизительных ожиданий с целочисленными моментами, когда эти условия не выполняются?
источник
Ответы:
По вашему предположению, что является вещественно-аналитическим, Сходится почти наверняка (фактически наверняка) к .f yn=f(μ)+f′(μ)(x−μ)+f′′(μ)(x−μ)22!+…+f(n)(μ)(x−μ)nn! f(x)
Стандартным условием, при котором в качестве сходимости подразумевается сходимость ожидания, т.е. является что как для некоторого такого, что . (Теорема о доминируемой сходимости.)E[f(x)]=E[limn→∞yn]=limn→∞E[yn], |yn|≤y y E[y]<∞
Это условие будет выполнено, если степенной ряд сходится абсолютно как: иy=∑n≥0|f(n)(μ)||x−μ|nn!<∞a.s. E[y]<∞.
Ваш пример случайной переменной Пуассона и , , предполагает, что выше интегрируемость критерия абсолютного предела является самой слабой из возможных.f(x)=xα α∉Z+
источник
Приближение будет сходиться, если функция f (x) допускает разложение в степенной ряд, т. Е. Существуют все производные. Это также будет полностью достигнуто, если производные определенного порога и выше равны нулю. Вы можете обратиться к Популису [3-4] и Старку и Вудсу [4].
источник