Покажем, что вторая производная от положительна для . Во-первых, нам нужно знать, как различать и .Qx≥0Φϕ
По определению,
ddxΦ(x)=ϕ(x)=12π−−√exp(−x2/2).
Дифференцирование еще раз дает
ddxϕ(x)=−xϕ(x).
Применение этого результата к другой производной дает
d2dx2ϕ(x)=(−1+x2)ϕ(x).
Используя эти результаты, наряду с обычным произведением и частными правилами дифференцирования, мы находим, что числитель второй производной является суммой шести слагаемых. (Этот результат был получен в середине вопроса.) Удобно распределить термины по трем группам:
Φ(x)3d2dx2Q(x)=2xϕ(x)3+3x2ϕ(x)2Φ(x)+x3ϕ(x)Φ(x)2+Φ(x)(−2ϕ(x)2−3xϕ(x)Φ(x)+2Φ(x)2).
Поскольку - это плотность вероятности, она неотрицательна, как и функция распределения . Таким образом, только третий член может быть отрицательным, когда . Его знак такой же, как у его второго фактора,ϕΦx≥0
R(x)=−2ϕ(x)2−3xϕ(x)Φ(x)+2Φ(x)2.
Есть много способов показать, что этот фактор не может быть отрицательным. Следует отметить, что
R(0)=−2ϕ(0)+2Φ(0)=1−2π−−√>0.
Дифференциация - используя те же простые методы, что и раньше - дает
ddxR(x)=ϕ(x)(xϕ(x)+(1+3x2)Φ(x))
что явно положительно для . Поэтому является возрастающей функцией на интервале . Его минимум должен быть в , доказывая для всех .x≥0R(x)[0,∞)R(0)>0R(x)>0x≥0
Мы показали, что имеет положительную вторую производную для , QED .Qx≥0