X, Y определены из N (0,1). Какова вероятность того, что X> 2Y

Я думал, так как от и они независимы, то $X, Y$ $N(0,1)$

$X - 2Y$ имеет распределение . Тогда имеет вероятность . $N(0, 5)$ $X-2Y > 0$ $1/2$

Вышеизложенное мне кажется правильным, хотя кажется, что тогда будет иметь вероятность . Это кажется немного неправильным. Я что-то не так понял? $X>nY$ $1/2$

probability normal-distribution вендетта
источник

Что кажется «немного неправильным» там? Возможно, вы думаете об условной вероятности? ( ... это не та вероятность, о которой идет речь)

P (X > n Y | Y)

$P(X>nY|Y)$

Glen_b

Если я вас правильно понял, результаты кажутся вам не интуитивными. Но даже в случае, если n большое, Y положительно с вероятностью (и отрицательно с вероятностью ). Хотя | X | вряд ли будет больше, чем | nY |, вероятность без абсолютных значений обоснована .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Лан

Ответы:

При двумерном стандартном нормале (то есть стандартном нормальном значении iid) вероятность лежать на одной стороне линии через начало координат равна независимо от наклона линии. $\frac{_1}{^2}$

введите описание изображения здесь

Это следует, например, из вращательной симметрии двумерного распределения относительно , поскольку мы можем повернуть задачу к рассмотрению в повернутых координатах. $O$ $P(X'\gt0)$

Действительно, рассмотрение использования аффинных преобразований означает, что оно должно быть гораздо более общим - аргумент будет применяться к любой двумерной нормали, где обе дисперсии больше 0. $\frac{_1}{^2}$

Glen_b - Восстановить Монику
источник

Спасибо, я нашел мой вывод немного нелогичным, но ваша диаграмма проясняет мне все это.

Вендетта

Если и являются совместно нормальными случайными величинами с нулевым средним (не обязательно независимыми), то является нормальной случайной величиной с нулевым средним и, таким образом, Независимость и дисперсия не имеют ничего общего с вопросом: все, что необходимо для сохранения приведенного выше результата, - это то, что переменные совместно являются нормальными, а средние значения равны нулю. (Тривиальное исключение, когда равно , то есть это вырожденная нормальная случайная величина, то есть константа, которая возникает, когда и идеально коррелированы и ).

X

$X$

Y

$Y$

X - a Y

$X-aY$

п {Икс > a Y} знак равно п {Икс - a Y > 0} знак равно \frac{1}{2},

$P\{X > aY\} = P\{X-aY > 0\} = \frac 12.$

X - a Y

$X-aY$

0

$0$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{X} = a σ_{Y}

$\sigma_X = a\sigma_Y$

Дилип Сарвейт

Спасибо, Дилип, ваш комментарий, конечно, совершенно правильный - я начал с заданных условий и попытался дать некоторую мотивацию для результата, который ОП уже получил.

Glen_b