У меня есть четыре независимые равномерно распределенные переменные , каждая в . Я хочу рассчитать распределение . Я вычислил распределение как (отсюда ) и должно быть f_1 (u_1) = \ frac {1- \ sqrt {u_1}} {\ sqrt {u_1}}. Теперь распределение суммы u_1 + u_2 равно ( u_1, \, u_2 также независимый) f_ {u_1 + u_2} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f_1 (xy) f_2 (y) dy = - \ frac {1} {4} \ int_0 ^ 4 \ frac {1- \ sqrt {xy}} {\ sqrt {xy}} \ cdot \ ln \ frac {y} {4} dy, потому что y \ in (0,4]
Я сделал четыре независимых набора состоящих из чисел каждый, и нарисовал гистограмму :
и нарисовал график :
Как правило, график похож на гистограмму, но на интервале большая его часть отрицательна (корень находится на уровне 2,27034). И интеграл положительной части составляет .
Где ошибка? Или где я что-то упустил?
РЕДАКТИРОВАТЬ: я масштабировал гистограмму, чтобы показать PDF.
РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Я думаю, что я знаю, где проблема в моих рассуждениях - в пределах интеграции. Поскольку и , я не могу просто . На графике показана область, в которую я должен интегрироваться:x - y ∈ ( 0 , 1 ] ∫ x 0
Это означает, что у меня есть для (поэтому часть моего была правильной), в и в . К сожалению, Mathematica не может вычислить последние два интеграла (ну, он действительно вычисляет второй, поскольку в выводе есть мнимая единица, которая все портит ... ). y ∈ ( 0 , 1 ] f ∫ x x - 1 y ∈ ( 1 , 4 ] ∫ 4 x - 1 y ∈ ( 4 , 5 ]
РЕДАКТИРОВАТЬ 3: Похоже, что Mathematica МОЖЕТ вычислить последние три интеграла с помощью следующего кода:
(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1},
Assumptions ->0 <= u2 <= u1 && u1 > 0]
(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,u1},
Assumptions -> 1 <= u2 <= 3 && u1 > 0]
(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,4},
Assumptions -> 4 <= u2 <= 4 && u1 > 0]
который дает правильный ответ :)
Ответы:
Часто это помогает использовать кумулятивные функции распределения.
Первый,
Следующий,
Пусть между наименьшим ( ) и наибольшим ( ) возможными значениями . Запись с CDF и с PDF , нам нужно вычислитьδ 0 5 (a−d)2+4bc x=(a−d)2 F y=4bc g=G′
Мы можем ожидать, что это будет неприятно - равномерное распределение PDF является прерывистым и, следовательно, должно приводить к разрывам в определении поэтому удивительно, что Mathematica получает закрытую форму (которую я не буду здесь воспроизводить). Дифференцирование его по отношению к дает желаемую плотность. Он определяется кусочно в течение трех интервалов. В ,H δ 0<δ<1
В ,1<δ<4
А в ,4<δ<5
Эта фигура перекрывает график на гистограмме из iid реализаций . Они почти неразличимы, что свидетельствует о правильности формулы для .h 106 (a−d)2+4bc h
Следующее - почти бессмысленное решение Mathematica с грубой силой . Это автоматизирует практически все в расчете. Например, он даже вычислит диапазон результирующей переменной:
Здесь все интеграции и дифференциации. (Будьте терпеливы; вычисление занимает пару минут.)H
Наконец, симуляция и сравнение с графиком :h
источник
Как и OP и Whuber, я бы использовал независимость, чтобы разбить это на более простые проблемы:
TransformSum
Быстрая проверка Монте-Карло
Следующая диаграмма сравнивает эмпирическое приближение pdf (волнистый синий) с точки зрения Монте-Карло с теоретическим pdf, полученным выше (красная пунктирная линия). Выглядит хорошо.
источник