когда непрерывная переменная

13

Я знаю, что для непрерывной переменной .P[X=x]=0

Но я не могу представить, что если , существует бесконечное количество возможных . А также почему их вероятности становятся бесконечно малыми?xP[X=x]=0x

время
источник
2
Уже есть два голоса, чтобы закрыть этот вопрос как дубликат. Я не согласна Это довольно простая тема, одна из тех, которые, вероятно, появятся снова в будущем, поэтому было бы хорошо, если бы у нее был прямой и качественный ответ, чтобы мы могли обратиться к ней в будущем. Ссылка, предоставленная @ Xi'an, может быть дублирована, но она также довольно специфична, и ее трудно найти с помощью поиска. Ссылка также не дает исчерпывающего ответа, хотя эта угроза, кажется, сходится к таковой. Я думаю, что это должно быть оставлено открытым как будущая ссылка.
Тим
Это может помочь рассмотреть обратную ситуацию. Пусть - любая случайная величина, а - любое положительное действительное число. Может быть только конечное число для которого , в противном случае - сложив все эти вероятности по непересекающимся событиям - вы бы пришли к выводу, что полная вероятность по крайней мере \ epsilon + \ epsilon + \ cdots , который в конечном итоге превышает 1 . (Это свойство Архимеда действительных чисел.) В этом рассуждении используются только три аксиомы : вероятности добавления непересекающихся событий, общая вероятность равна 1 , и аксиома Архимеда.XϵωPr(X=ω)ϵϵ+ϵ+11
whuber
1
@ Тим Спасибо, но я отправил эту мысль как комментарий, а не ответ, потому что это неполное: Я не понял, элементарный способ объяснить , что происходит в пределе ϵ0 . Кажется, требуется знание кардинальности бесконечных множеств.
whuber
3
@ Сиань Я согласен, но предложенная вами тема не является достаточно близким дубликатом. Это сложная вещь для поиска. Возможно, вам известны другие темы, дублирующие этот вопрос?
whuber

Ответы:

14

Вероятности являются моделями для относительных частот наблюдений. Если событие наблюдается, имели место раз на испытаний, то его относительная частота , и это , как правило , полагают , что численное значение вышеупомянутое соотношение является близким приближением к когда является «большим», где то, что подразумевается под «большим», лучше всего оставить воображению (и доверчивости) читателя.ANAN

relative frequency of (A)=NAN
P(A) N

Теперь было замечено, что если наша модель представляет собой модель непрерывной случайной величины, то выборки являются различными числами. Таким образом, относительная частота определенного числа (или, более педантично, события ) равна либо если один из имеет значение , либо если все различны из . Если более скептически настроенный читатель собирает дополнительные выборок, относительная частота события либоXX {x1,x2,,xN}Nx{X=x}1Nxix0NxixN{X=x}12N или продолжает пользоваться значением . Таким образом, можно предположить, что должно быть присвоено значение поскольку это хорошее приближение к наблюдаемой относительной частоте.0NP{X=x}0

Примечание: приведенное выше объяснение (обычно) является удовлетворительным для инженеров и других лиц, заинтересованных в применении вероятности и статистики (т. Е. Тех, кто считает, что аксиомы вероятности были выбраны таким образом, чтобы сделать теорию хорошей моделью реальности), но совершенно неудовлетворительно для многих других. Также возможно подойти к вашему вопросу с чисто математической или статистической точки зрения и доказать, что должен иметь значение всякий раз, когда является непрерывной случайной величиной, посредством логических выводов из аксиом вероятности и без каких-либо ссылок. относительной частоте или физическим наблюдениям и т. д.P{X=x} 0X

Дилип Сарватэ
источник
1
+1 «Примечание: приведенное выше объяснение ... удовлетворительно для тех, кто считает, что аксиомы вероятности были выбраны таким образом, чтобы сделать теорию хорошей моделью реальности), но совершенно неудовлетворительно ...», в предпочитаемая формулировка интернета, лол.
gung - Восстановить Монику
2
Я не понимаю , что вы имеете в виду , что было замечено , что если непрерывна, то ...X . Как мы можем наблюдать это?
Стефан Лоран
3
@ StéphaneLaurent Это предложение немного сложнее, поэтому его стоит перечитать. Без каких-либо замечаний в скобках говорится, что "было замечено, что ... образцы ... представляют собой различных чисел". Другими словами, когда предполагается , что имеет непрерывное распределение , то (почти наверняка) не будет никаких дубликатов в любой конечной н.о.р. выборки . Это может быть математически доказано: это не просто наблюдение. NXX
whuber
2
@ StéphaneLaurent Я думаю, что замечания Дилипа сделаны в другом духе, чем это. Этот ответ не является попыткой обеспечить математически строгую демонстрацию, но должен обеспечить некоторую интуицию и мотивацию для факта, который озадачивает ОП. Я заинтригован этим подходом, потому что у него есть такой потенциал, чтобы преодолеть разрыв между дискретной теорией вероятностей, которую традиционно преподают новичкам, и более богатой общей теорией вероятностей, основанной на теории мер.
whuber
2
@whuber Я понимаю дух, но на первый взгляд я не был убежден, что свойство no-ties более интуитивно, чем свойство с нулевой вероятностью. Для это действительно одно и то же: « » . N=2x2 is never x1 Pr(X2=x1)=0
Стефан Лоран
13

Пусть будет лежащим в основе вероятностным пространством. Мы говорим, что измеримая функция является абсолютно непрерывной случайной величиной, если мера вероятности над определена как , известная как распределение , доминирует мера Лебега в том смысле, что для каждого борелевского множества , если , то . В этом случае теорема Радона-Никодима говорит нам, что существует измеримое(Ω,F,P)X:ΩRμX(R,B)μX(B)=P{XB}XλBλ(B)=0μX(B)=0fX:RR, определенная до почти всюду эквивалентности, такая, что . Пусть - счетное подмножество . Поскольку счетно-аддитивно, . Но для каждого . Из-за архимедовых свойств действительных чисел, поскольку , неравенство выполняется для каждого тогда и только тогда, когдаμX(B)=Bf(x)dλ(x)B={x1,x2,}Rλλ(B)=λ(i1{xi})=i1λ({xi})

λ({xi})=λ(k1[xi,xi+1/k))λ([xi,xi+1/n))=1n,()
n1λ({xi})0()n1λ({xi})=0 , в результате чего . Из предполагаемой абсолютной непрерывности следует, что .λ(B)=0XμX(B)=P{XB}=0
Zen
источник
Непрерывная случайная величина не должна быть абсолютно непрерывной (она может не иметь плотности).
Zhanxiong,
1
Чушь. «Непрерывная случайная величина» - это неофициальное название «случайной величины, которая является абсолютно непрерывной по отношению к мере Лебега». Следовательно, Радон-Никодим гарантирует, что плотность существует. Случайная переменная с единичным распределением (например, Кантор) - это другое. Вы вводите в заблуждение потенциальных учеников своим фиктивным комментарием.
Дзен
Когда вы критиковали кого-то, пожалуйста, покажите ссылку, на которую вы ссылались. В каком учебнике по вероятности сказано, что «Непрерывная случайная величина» является неофициальным названием для «случайной величины, которая абсолютно непрерывна относительно меры Лебега» ? Кроме того, эту проблему можно решить, не требуя плотности , см. Мое доказательство ниже. X
Zhanxiong
Википедия не согласна с вами, @Solitary: « Непрерывное распределение вероятностей - это распределение вероятностей, которое имеет функцию плотности вероятности. Математики также называют такое распределение абсолютно непрерывным [...]».
говорит амеба, восстанови Монику
4

X непрерывная случайная величина означает, что ее функция распределения непрерывна . Это единственное условие, которое у нас есть, но из которого мы можем вывести, что .FP(X=x)=0

Фактически, в силу непрерывности мы имеем для каждого , поэтому: FF(x)=F(x)xR1

P(X=x)=P(Xx)P(X<x)=F(x)F(x)=0.
Zhanxiong
источник
Если распределение rv канторовское, то его функция распределения непрерывна, но - сингулярная случайная величина; это не непрерывная случайная величина. XX
Дзен
Мой друг, это на самом деле может быть контрпримером к твоему собственному ответу, а не моему. Поскольку существование таких сингулярных непрерывных rv, необходимо различать абсолютные непрерывные rv и особые непрерывные rv, хотя все их функции распределения непрерывны. Выравнивание непрерывного rv и абсолютного непрерывного rv неоднозначно.
Zhanxiong
Это не так, но ты не услышишь, друг мой.
Дзен
Кстати, вы на самом деле «доказываете», что если для каждого , то для каждого . P(X=x)=0xP(X=x)=0x
Дзен