Я знаю, что для непрерывной переменной .
Но я не могу представить, что если , существует бесконечное количество возможных . А также почему их вероятности становятся бесконечно малыми?x
Я знаю, что для непрерывной переменной .
Но я не могу представить, что если , существует бесконечное количество возможных . А также почему их вероятности становятся бесконечно малыми?x
Ответы:
Вероятности являются моделями для относительных частот наблюдений. Если событие наблюдается, имели место раз на испытаний, то его относительная частота , и это , как правило , полагают , что численное значение вышеупомянутое соотношение является близким приближением к когда является «большим», где то, что подразумевается под «большим», лучше всего оставить воображению (и доверчивости) читателя.A NA N
Теперь было замечено, что если наша модель представляет собой модель непрерывной случайной величины, то выборки являются различными числами. Таким образом, относительная частота определенного числа (или, более педантично, события ) равна либо если один из имеет значение , либо если все различны из . Если более скептически настроенный читатель собирает дополнительные выборок, относительная частота события либоX X {x1,x2,…,xN} N x {X=x} 1N xi x 0N xi x N {X=x} 12N
или продолжает пользоваться значением . Таким образом, можно предположить, что должно быть присвоено значение поскольку это хорошее приближение к наблюдаемой относительной частоте.0N P{X=x} 0
Примечание: приведенное выше объяснение (обычно) является удовлетворительным для инженеров и других лиц, заинтересованных в применении вероятности и статистики (т. Е. Тех, кто считает, что аксиомы вероятности были выбраны таким образом, чтобы сделать теорию хорошей моделью реальности), но совершенно неудовлетворительно для многих других. Также возможно подойти к вашему вопросу с чисто математической или статистической точки зрения и доказать, что должен иметь значение всякий раз, когда является непрерывной случайной величиной, посредством логических выводов из аксиом вероятности и без каких-либо ссылок. относительной частоте или физическим наблюдениям и т. д.P{X=x}
0 X
источник
Пусть будет лежащим в основе вероятностным пространством. Мы говорим, что измеримая функция является абсолютно непрерывной случайной величиной, если мера вероятности над определена как , известная как распределение , доминирует мера Лебега в том смысле, что для каждого борелевского множества , если , то . В этом случае теорема Радона-Никодима говорит нам, что существует измеримое(Ω,F,P) X:Ω→R μX (R,B) μX(B)=P{X∈B} X λ B λ(B)=0 μX(B)=0 fX:R→R , определенная до почти всюду эквивалентности, такая, что . Пусть - счетное подмножество . Поскольку счетно-аддитивно, . Но
для каждого . Из-за архимедовых свойств действительных чисел, поскольку , неравенство выполняется для каждого тогда и только тогда, когдаμX(B)=∫Bf(x)dλ(x) B={x1,x2,…} R λ λ(B)=λ(∪i≥1{xi})=∑i≥1λ({xi})
источник
Фактически, в силу непрерывности мы имеем для каждого , поэтому:F F(x)=F(x−) x∈R1
источник