Мне всегда говорили, что CDF уникален, однако PDF / PMF не уникален, почему это так? Можете ли вы привести пример, когда PDF / PMF не является уникальным?
probability
distributions
pdf
cdf
DKangeyan
источник
источник
Ответы:
Давайте вспомним некоторые вещи. Пусть являются вероятностным пространство , Ω нашего образца набора, наша σ - алгебра, и Р является функцией вероятности , определенная на A . Случайная величина является измеримой функцией Х : Ом → R т.е. Х - 1 ( S ) ∈ для любого Лебегу подмножество в R(Ω,A,P) Ω A σ P A X:Ω→R X−1(S)∈A R , Если вы не знакомы с этой концепцией, то все, что я скажу потом, не будет иметь никакого смысла.
Каждый раз, когда у нас есть случайная величина , она индуцирует вероятностную меру X ′ на R с помощью категорического продвижения вперед. Другими словами, X ′ ( S ) = P ( X - 1 ( S ) ) . Это тривиально , чтобы проверить , что X ' является вероятностной мерой на R . Мы называем X ' на распределение в X .X:Ω→R X′ R X′(S)=P(X−1(S)) X′ R X′ X
Теперь с этим понятием связано то, что называется функцией распределения функциональной переменной. Для произвольной переменной определим F ( x ) = P ( X ≤ x ) . Функции распределения F : R → [ 0 , 1 ] обладают следующими свойствами:X:Ω→R F(x)=P(X≤x) F:R→[0,1]
являетсянепрерывным справа.F
не убываетF
и F ( - ∞ ) = 0 .F(∞)=1 F(−∞)=0
Очевидно, что случайные переменные, которые равны, имеют одинаковую функцию распределения и распределения.
Обратный процесс и получение меры с заданной функцией распределения довольно технически. Допустим, вам дана функция распределения . Определите µ ( a , b ] = F ( b ) - F ( a ) . Вы должны показать, что µ - это мера на полуалгебре интервалов ( a , b ] . После этого вы можете применить теорему о расширении Каратеодори. расширить μ до вероятностной меры на R .F(x) μ(a,b]=F(b)−F(a) μ (a,b] μ R
источник
Чтобы ответить на запрос о примере двух плотностей с одинаковым интегралом (т.е. иметь одинаковую функцию распределения), рассмотрим эти функции, определенные на действительных числах:
а потом;
They are not equal at all x, but are both densities for the same distribution, hence densities are not uniquely determined by the (cumulative) distribution. When densities with a real domain are different only on a countable set of x values, then the integrals will be the same. Mathematical analysis is not really for the faint of heart or the determinately concrete mind.
источник
I disagree with the statement, "the probability distribution function does not uniquely determine a probability measure", that you say in your opening question. It does uniquely determine it.
Letf1,f2:R→[0,∞) be two probability mass functions. If,
We can rewrite the above integral into,
DefineE={x∈R | g≥0} , so ∫Eg=0 . We use the well-known theorem that if an integral of a non-negative function is zero then the function is zero almost everywhere. In particular, g=0 a.e. on E . So f1=f2 a.e. on E . Now repeat the argument in the other direction with F={x∈R | g≤0} . We will get that f1=f2 a.e on F . Thus, f1=f2 a.e. on E∪F=R .
источник