Как определить распределение, которое извлекает из него корреляцию с ничьей из другого предварительно определенного распределения?

12

Как определить распределение случайной величины , чтобы ничья из Y имела корреляцию ρ с x 1 , где x 1 - это единичное ничье из распределения с кумулятивной функцией распределения F X ( x ) ? YYρx1x1FX(x)

OctaviaQ
источник

Ответы:

21

Вы можете определить его с точки зрения механизма генерации данных. Например, если иXFX

Y=ρX+1ρ2Z

где и не зависит от X , тоZFXX

cov(X,Y)=cov(X,ρX)=ρvar(X)

Также отметим , что , так как Z имеет такое же распределение, что и X . Следовательно,var(Y)=var(X)ZX

cor(X,Y)=cov(X,Y)var(X)2=ρ

Так что если вы можете генерировать данные из , вы можете создать мерный, Y , который имеет заданную корреляцию ( р ) с X . Обратите внимание, однако, что предельное распределение Y будет только F X в особом случае, когда F X является нормальным распределением (или некоторым другим аддитивным распределением). Это связано с тем, что суммы нормально распределенных переменных являются нормальными; это не общее свойство распределений. В общем случае вам придется рассчитать распределение Y , рассчитав (соответствующим образом масштабированный) свертку плотности, соответствующей FFXY(ρ)XYFXFXY с собой.FX

макрос
источник
2
+1 Очень хороший ответ. Придираться: в последней строке вам нужно свертка масштабируется версией из . FX
whuber
Большое спасибо, Макро. Просто чтобы кое-что прояснить - в последнем абзаце вы имеете в виду, что вам нужно свернуть rho * X с sqrt (1 - rho ^ 2) * X? (извините, я не смог получить никакого форматирования, даже HTML для работы с этим конкретным комментарием)
OctaviaQ
1
ρX1ρ2X
1
Долгое время, но ... идеи о том, как это сделать, а также обеспечения предельного распределения Y?
Хулиан Урбано