Являются ли вероятности ошибок типа I и II отрицательно коррелированными?

11

В классе элементарной статистики, для которого я был ТА, профессор заявил, что с увеличением вероятности ошибки типа I вероятность ошибки типа II уменьшается, и обратное утверждение также верно. Так что это наводит меня на мысль, что .β ρ α , β < 0αβρα,β<0

Но как можно доказать это для проверки общей гипотезы? Это утверждение вообще верно?

Я мог бы попробовать конкретный случай (скажем, и ), но, очевидно, этого недостаточно для решения этого вопроса.H 1 : μ < μ 0ЧАС0:μзнак равноμ0ЧАС1:μ<μ0

Кларнетист
источник

Ответы:

13

Эти величины ( и β ) не являются случайными величинами, поэтому я не решаюсь говорить об их корреляции Пирсона; Я не уверен, в каком смысле это применимо.αβ

Эти два понятия отрицательно связаны в том смысле, что, в общем и целом (но см. Ниже *), и при прочих равных условиях (например, размер выборки и размер эффекта, при котором вы вычисляете ) - если вы измените α , то β переместит противоположное направление (в частности, в типичных ситуациях β является функцией α ; укажите достаточное количество для определения β, и оно будет зависеть от α - и в большинстве разумных ситуаций это соотношение будет - то, что вы хотели бы использовать в актуальный тест - быть отрицательно зависимым).βαββαβα

Рассмотрим, например, некоторую кривую мощности. Перемещение приведет к увеличению или уменьшению кривой мощности ( 1 - β ), поэтому β в некоторой точке кривой (которая является расстоянием между кривой и 1) уменьшается с увеличением α . Вот пример с двусторонним тестом (скажем, t-тест).α1-ββα

введите описание изображения здесь

Случай с одним хвостом похож, но вы бы сфокусировались на правой половине рисунка выше (две кривые в левой половине рисунка сместились бы к нулю)


* в некоторых ситуациях это не обязательно должно быть так. Рассмотрим тестирование униформы (0,1) с помощью теста Колмогорова-Смирнова.

Давайте рассмотрим возможность того, что вместо этого у нас есть униформа на (или даже любое распределение с некоторой вероятностью вне единичного интервала).(0,1+ε)

Если я наблюдаю значение, которое не лежит в (0,1), критерий Колмогорова-Смирнова не обязательно отклоняет нуль. Но я могу сделать второй тест (назовем его тестом KS *), который похож на Колмогорова-Смирнова, за исключением того, что, когда мы наблюдаем значение вне (0,1), мы также отклоняем нуль, независимо от того, является ли обычная статистика достигает критического значения.

Тогда для любой альтернативы , которая имеет любую вероятность снаружи (0,1) мы снизили частоту ошибок типа II (с , что для обычного теста KS) без изменений вообще.α

(как правило, в этом случае не рекомендуется использовать KS, поэтому, если вы знаете, что это возможно, вам нужно тщательно продумать альтернативы)

Glen_b - Восстановить Монику
источник
3

Обозначим через наблюдение с плотностью f 0 ( x ) или f 1 ( x ) согласно гипотезе H 0 или H 1 верно. Пусть Γ 0 и Γ 1 обозначают области решения . Таким образом, Γ 0Γ 1 = , Γ 0Γ 1 = R и решение состоит в том, что H i истинно тогда и только тогда, когда X Иксе0(Икс)е1(Икс)ЧАС0ЧАС1Γ0Γ1Γ0Γ1знак равноΓ0Γ1знак равнорЧАСя . Тогда вероятности ошибок типа I и типа II равны P ( ошибка типа I )ИксΓя Рассмотрим дведругие областипринятия решенийΓ0 иΓ1 такие, чтоΓ1Γ1 иΓ0Γ0. Теперь Γ1 f0(x)

(1)п(Ошибка типа I)знак равноΓ1е0(Икс)dИкс(2)п(Ошибка типа II)знак равноΓ0е1(Икс)dИкс,
Γ0'Γ1'Γ1Γ1'Γ0'Γ0 поскольку интеграл по большему набору, это означает, что новое правило принятия решения имеет большую вероятность ошибки I типа. Но отметим также, что Γ 0 f 1 ( x )
Γ1'е0(Икс)dИксΓ1е0(Икс)dИкс
потому что интеграл по меньшему набору, и поэтому новое правило принятия решения имеет меньшую вероятность ошибки типа II.
Γ0'е1(Икс)dИксΓ0е1(Икс)dИкс
Дилип Сарватэ
источник
1

αβαβ

αβ

Корт Аммон
источник
1
«Отношения только» - кажется, хвостовая часть вашего ответа была отрезана?
Серебряная рыбка