Оценка максимального правдоподобия для минимума экспоненциальных распределений

Я застрял на том, как решить эту проблему.

Итак, у нас есть две последовательности случайных величин: и для . Теперь и являются независимыми экспоненциальными распределениями с параметрами и . Однако, вместо того, чтобы наблюдать и , мы видим вместо и .Y я я = 1 , . , , , n X Y λ μ X Y Z $X_i$$Y_i$$i=1,...,n$$X$$Y$$\lambda$$\mu$$X$$Y$$Z$$W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ и $W=1$ если $Z_i=X_i$ и 0, если $Z_i=Y_i$ . Я должен найти закрытые формы для максимального правдоподобия оценок $\lambda$ и $\mu$ на основе $Z$ и $W$ . Далее нам нужно показать, что это глобальные максимумы.

Теперь я знаю, что минимум двух независимых экспонент сам по себе экспоненциальный со скоростью, равной сумме скоростей, поэтому мы знаем, что $Z$ экспоненциально с параметром $\lambda+\mu$ . Таким образом, наша оценка максимального правдоподобия: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Но я застрял с тем, куда идти отсюда. Я знаю, что $W$ - это распределение Бернулли с параметром $p=P(Z_i=X_i)$ , но я не знаю, как преобразовать это в утверждение об одном из параметров. Например, что бы MLE $\bar{W}$ оценивал в терминах $\lambda$ и / или $\mu$ ? Я понимаю, что если $Z_i=X_i$ , то $\mu=0$ , но мне трудно разобраться, как придумать какое-либо алгебраическое утверждение, здесь.

UPDATE 1: Так что я сказал в комментариях , чтобы получить вероятность для совместного распределения $Z$ и $W$ .

Таким образом, где . Правильный? Я не знаю, как еще получить совместное распределение в этом случае, так как и не являются независимыми.p = P ( Z i = X i ) Z $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$$p=P(Z_i=X_i)$$Z$$W$

Так что это дает нам, , по определению выше. Но что теперь? Это никуда меня не приведет. Если я пройду шаги по вычислению вероятности, я получу: (используя и в качестве размеров выборки для каждой части смеси ...) W m $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$$W$$m$$n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Если взять частные производные, это говорит мне , что оценивает мой MLE для и только среднее значение «s условном на . Это,μ Z $\lambda$$\mu$$Z$$W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

а также

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

У меня недостаточно очков, чтобы комментировать, поэтому я напишу здесь. Я думаю, что проблема, которую вы публикуете, может быть рассмотрена с точки зрения анализа выживания, если учесть следующее:

$X_i$ : истинное время выживания,

$Y_i$ : время ,

Оба имеют экспоненциальное распределение с независимыми иТогда - это наблюдаемое время выживания, а - показатель цензуры.Y Z я W $X$$Y$$Z_i$$W_i$

Если вы знакомы с анализом выживания, я думаю, вы можете начать с этого момента.

Примечания: Хороший источник: анализ данных выживания DRCox и D.Oakes

Ниже приведен пример: Предполагается, что pdf распределения времени выживания . Тогда функция выживания: . И логарифмическая вероятность: S ( t ) = e - ρ $f(t)=\rho e^{-\rho t}$$S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

с суммированием по цензуре ( ) и цензуре ( ) соответственно.$u$$c$

В связи с тем, что где h (t) - функция опасности, это можно записать так:$f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

И максимальная оценка правдоподобия of :$\hat{\rho}$$\rho$

дШя=$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ где - общее количество случаев$d$$W_i=1$