Какое соотношение независимых распределений дает нормальное распределение?

Отношение двух независимых нормальных распределений дает распределение Коши. T-распределение - это нормальное распределение, деленное на независимое распределение хи-квадрат. Отношение двух независимых хи-квадрат распределения дает F-распределение.

Я ищу соотношение независимых непрерывных распределений, которое дает нормально распределенную случайную величину со средним значением и дисперсией ?σ $\mu$$\sigma^2$

Вероятно, существует бесконечный набор возможных ответов. Можете ли вы дать мне некоторые из этих возможных ответов? Я был бы особенно признателен, если бы два независимых распределения, отношение которых было вычислено, были одинаковыми или, по крайней мере, имели сходную дисперсию

Пусть где имеет экспоненциальное распределение со средним и с равной вероятностью. Пусть где . Если предположить, что взаимно независимы, то не зависит от и . Следовательно, мы имеем E2σ2Z=±1Y2=1/$Y_1 = Z \sqrt{E}$$E$$2 \sigma^2$$Z = \pm 1$ B∼Бета(0,5,0,5)(Z,E,B)Y1Y2Y1/Y2∼Нормальный(0,σ2$Y_2 = 1 / \sqrt{B}$$B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$$(Z, E, B)$$Y_1$$Y_2$$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

1. Y $Y_1$ независимо от ;$Y_2$
2. Оба сплошные; такой, что
3. $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$ .

Я не понял, как получить . Труднее понять, как это сделать, поскольку проблема сводится к нахождению и которые являются независимыми, так что что довольно немного сложнее , чем сделать для независимого и .A B A - B $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$$A$$B$A/B∼Нормальный(0,1)A

$$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$$ $A/B \sim \text{Normal}(0,1)$$A$$B$

Я был бы особенно признателен, если бы два независимых распределения, отношение которых было вычислено, были одинаковыми 

Нет никакой возможности, что нормальная переменная может быть записана как отношение двух независимых переменных с одним и тем же распределением или семейством распределения (например, F-распределение, которое является отношением двух масштабированных распределенных переменных $\chi^2$ или распределение Коши, которое является соотношение двух нормально распределенных переменных с нулевым средним).

• Предположим, что: для любого $A, B \sim F$ где $F$ - это то же самое распределение или семейство распределений, мы имеем

  $$X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Мы также должны иметь возможность поменять местами $A$ и $B$ (если нормальная переменная может быть записана как отношение двух независимых переменных с одинаковым распределением или семейством распределений, то порядок можно изменить)

  $$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Но если $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ то $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ не может быть истинным (обратное значение к нормальной распределенной переменной не является другой нормальной распределенной переменной).

---

Более широкий вывод: если переменные в любом семействе распределений $\mathcal{F}_X$ могут быть записаны как отношение переменных в другом семействе распределений $\mathcal{F}_Y$ то должно быть, что семейство $\mathcal{F}_X$ является замкнутым при взятии обратной величины (т. Е. Для любой переменной, распределение которой находится в $\mathcal{F}_X$ распределение его обратного также будет в $\mathcal{F}_X$ ).

Например, инверсия распределенной переменной Коши также распределена по Коши. Инверсия F-распределенной переменной также F-распределена.

• Это «если» не является «если», обратное неверно. Когда $X$ и $1/X$ находятся в одном и том же семействе распределений, то не всегда возможно записать как распределение отношений со знаменателем и знаменателем из одного и того же семейства распределений.

  Контрпример: мы можем представить семейства распределения, для которых для любого $X$ в семействе у нас есть $1/X$ в том же семействе, но у нас нет $P(X=1)=0$ . Это противоречит тому факту, что для распределения отношений, где знаменатель и знаменатель имеют одинаковое распределение, мы должны иметь $P(X=1) \neq 0$ (и что-то подобное можно выразить для непрерывных распределений, таких как интеграл по линии X / Y = 1 на диаграмме рассеяния X, Y имеет некоторую ненулевую плотность, когда X и Y имеют одинаковое распределение и независимы).

Ну, вот один, но я не буду это доказывать, только покажу в симуляции.

$\text{Beta}(200,200)$$n=40,000$$x$$\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$$n=40,000$

$(0,1)$

$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

$\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$$

Другими словами, мы не можем доказать, что это соотношение ненормально, даже пытаясь сделать это очень усердно.

Теперь почему? Интуиция с моей стороны, которой у меня переизбыток. Доказательство оставлено читателю, если таковое существует (возможно, через ограничение метода моментов, но опять же, это просто интуиция).

$\text{Beta}(20,20)$$\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$$t$$\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

$$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$$t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$$

$X_1^G,X_2^G$$X^C_{\gamma}$

$$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$$\gamma$

$$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$$

$\mu$$\mu$$\sigma$$\gamma\rightarrow1/\gamma$