Ожидание квадрата гамма

11

Если гамма-распределение параметризовано с помощью и , то:αβ

E(Γ(α,β))=αβ

Я хотел бы рассчитать ожидание квадрата гаммы, то есть:

E(Γ(α,β)2)=?

Я думаю, что это:

E(Γ(α,β)2)=(αβ)2+αβ2

Кто-нибудь знает, правильно ли это последнее выражение?

Джошуа
источник
1
Это было связано с имитационным исследованием, над которым я работаю, где я рисую стандартные отклонения от гаммы, а затем хотел получить среднее значение отклонений (т. Е. Квадрат гаммы).
Джошуа

Ответы:

13

Ожидание квадрата любой случайной величины - это ее дисперсия плюс квадрат ожидания, как

D2(X)=E([XE(X)]2)=E(X2)[E(X)]2E(X2)=D2(X)+[E(X)]2 .

Ожидаемое -распределение, параметризованное выше, равно (как вы упомянули), дисперсия , следовательно, ожидание его квадратаΓα/β α/β2

(α/β)2+α/β2 .

То есть: ты прав.

Тамас Ференци
источник
Я ценю ответ, хотя я не уверен, что следую вашему уравнению - если вы выполните его через D2 (X), то в итоге получите D2 (X) + E (X) ^ 2
Джошуа
3
Эта линия не одно уравнение! Обратите внимание на стрелку в середине. Первая часть (в левой части стрелки) представляет собой одно уравнение, которое подразумевает второе уравнение (в правой части стрелки). (Добавив к обеим сторонам.)[E(X)]2
Тамас Ференци
7

Ради полноты я непосредственно вычислю исходные моменты из плотности. Во-первых, при параметризации формы / скорости гамма-распределение имеет плотность Будем считать само собой разумеющимся, что для любого выбора параметров мы имеем хотя этот результат легко выводится из тождества Тогда из положительного целого числа , что

fX(x)=βαxα1eβxΓ(α),x>0.
α,β>0
x=0fX(x)dx=1,
z=0xz1ezdz=Γ(z).
k
E[Xk]=x=0xkfX(x)dx=1Γ(α)x=0βαxα+k1eβxdx=Γ(α+k)βkΓ(α)x=0βα+kxα+k1eβxΓ(α+k)dx=Γ(α+k)βkΓ(α),
где на предпоследнем шаге мы наблюдаем, что интеграл равен потому что он является интегралом от гамма-плотности с параметрами и . Для мы немедленно получаем1α+kβk=2E[X2]=Γ(α+2)β2Γ(α)=(α+1)αβ2. Другой подход заключается в использовании функции генерирования момента: где условие для требуется, чтобы интеграл сходился. Мы можем переписать это как и из этого следует, что
MX(t)=E[etX]=x=0βαxα1eβx+txΓ(α)dx=βα(βt)αx=0(βt)αxα1e(βt)xΓ(α)dx=(ββt)α,t<β,
t
MX(t)=(1t/β)α,
E[Xk]=[dkMX(t)dtk]t=0=[(1t/β)αk]t=0j=0k1α+jβ=Γ(α+k)βkΓ(α).
heropup
источник
Очень понятный и полезный вывод.
Джошуа