Каково распределение отношения двух пуассоновских случайных величин?

22

У меня есть вопрос относительно случайных величин. Предположим , что у нас есть две случайные величины и . Скажем, - это распределение Пуассона с параметром , а - это распределение Пуассона с параметром .Y X λ 1 Y λ 2ИксYXλ1Yλ2

Когда вы строите трещину из и называете ее случайной переменной , как она распределяется и каково среднее значение? Это ?Z λ 1 / λ 2Икс/YZλ1/λ2

MarkDollar
источник
Я просто случайно сталкивался с этим при поиске ссылок. Вывод для коэффициента Пуассона довольно прост для частых ( Нельсон, 1970, «Доверительные интервалы для отношения двух значений Пуассона и интервалов Пуассона-предиктора» ) и для байесов (Lindley, 1965). Нет проблем с нулевым знаменателем!
Фрэнк Туйл
4
Первому спрашивающему и другим может быть интересно отметить, что имеет ожидаемое значение . В зависимости от вашего приложения это может быть больше пользы , чем . Для получения более подробной информации см. Мою статью в «Журнале аналитической атомной спектрометрии», 28 , 52, под названием «Статистическое смещение в изотопных отношениях» с DOI: 10.1039 / C2JA10205F. ( λ 1 / λ 2 ) ( 1 - e - λ 2 ) X / YX/(Y+1)(λ1/λ2)(1-е-λ2)X/Y
Это часто встречающаяся проблема в астрономии. Байесовское решение было разработано Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Байесовская оценка коэффициентов твердости: моделирование и вычисления ). Они включают фоновое загрязнение при лечении.
user78543
Из аннотации не очевидно, что они имеют дело с вопросом ОП. Как эта статья относится к распределению отношения двух пуассоновских случайных величин?
Энди

Ответы:

11

Я думаю, у тебя будут проблемы с этим. Поскольку переменная Y будет иметь нули, X / Y будет иметь некоторые неопределенные значения, так что вы не получите распределение.

bill_080
источник
9
+1 Точно. Но (чтобы избежать возможной путаницы) проблема не только в том, что может равняться 0 : это в том, что он может равняться 0 с положительной вероятностью. (Например, частное от нормалей имеет распределение, даже если знаменатель может быть равен 0. ) Таким образом, X / Y не определено с положительной вероятностью, что делает его среднее (и любой другой момент) также неопределенным. Y00 0X/Y
whuber
1
+1, но в литературе о ложных показателях обнаружения у людей нет проблем с где X - это истинные позитивы, а Y - общее количество позитивов :-). Принято X/YXY
считать
1
@Mark: Вероятно, лучше задать этот вопрос как новый вопрос и узнать, что конкретно вы пытаетесь достичь.
bill_080
2
@NRH В вашем случае существует сильная зависимость от Y . Это полностью меняет дело, потому что теперь вероятность положительного: нулевого отношения равна нулю. XY
uber
1
@ whuber, это конечно верно. Спасибо что подметил это. Я просто думал, что, может быть, существует негласное соглашение, чтобы сделать проблему значимой. Но из комментария @ MarkDollar выше кажется, что это не тот случай с самого начала.
NRH
8

Понимая, что отношение на самом деле не является четко определенным измеримым множеством, мы переопределяем соотношение как правильно измеряемый набор где суммирование следует до тех пор, покаr>0, аXиY- независимые переменные Пуассона. Плотность следует из теоремы Радона-Никодима.

п[ИксYр]знак равноп[ИксрY]знак равноΣYзнак равно0ΣИксзнак равно0рYλ2YY!е-λ2λ1ИксИкс!е-λ1
р>0ИксY
Аарон Шелдон
источник
Предположим, что происходит из усеченного до нуля распределения Пуассона. Будет ли ответ тогда:Y
Brash Equilibrium