Почему случайные величины определяются как функции?

У меня проблемы с пониманием концепции случайной величины как функции. Я понимаю механику (я думаю), но я не понимаю мотивации ...

Скажет $(\Omega, B, P)$ представляет собой вероятность того, тройной, где $\Omega = [0,1]$ , $B$ представляет собой Борель $\sigma$ - алгебру на этом интервал и $P$ является регулярной мерой Лебега. Пусть $X$ случайная величина от $B$ к $\{1,2,3,4,5,6\}$ , такие , что $X([0,1/6)) = 1$ ,$X([1/6,2/6)) = 2$ , ...,$X([5/6,1]) = 6$ , так$X$ имеет дискретный равномерное распределение на значения1 до 6.

Это все хорошо, но я не понимаю необходимость первоначальной вероятности тройной ... мы могли бы непосредственно построили что - то эквивалент , как $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$ , где $S$ является все соответствующие $\sigma$ -алгебры пространства, а $P_x$ является мерой, которая присваивает каждому подмножеству меру (количество элементов) / 6. Кроме того, выбор $\Omega=[0,1]$ был произвольным - это могло быть$[0,2]$ или любой другой набор.

Поэтому мой вопрос заключается в том, зачем создавать произвольное $\Omega$ с помощью $\sigma$ алгебры и меры и определять случайную величину как отображение из $\sigma$ -алгебры в вещественную линию?

Если вам интересно, почему весь этот механизм используется, когда может быть достаточно чего-то более простого - вы правы в большинстве обычных ситуаций. Однако теоретико-мерная версия вероятности была разработана Колмогоровым с целью создания теории такой общности, которая могла бы в некоторых случаях обрабатывать очень абстрактные и сложные вероятностные пространства. Фактически, теоретические основы Колмогорова для вероятности в конечном итоге позволили применять вероятностные инструменты далеко за пределами их первоначальной предполагаемой области применения в таких областях, как гармонический анализ.

Поначалу кажется более простым пропустить любую «лежащую в основе» -алгебру Ω и просто назначить вероятностные массы событиям, составляющим пространство выборки напрямую, как вы предложили. Действительно, вероятностники фактически делают то же самое всякий раз, когда решают работать с «индуцированной мерой» в пространстве выборки, определяемом P ∘ X - 1 . Тем не менее, все становится сложнее, когда вы начинаете входить в бесконечномерные пространства. Предположим, что вы хотите доказать строгий закон больших чисел для конкретного случая подбрасывания справедливых монет (то есть, что доля головок стремится произвольно близко к 1/2, когда число подбрасываний монет уходит в бесконечность). Вы можете попытаться построить $\sigma$$\Omega$$P \circ X^{-1}$$\sigma$алгебра на множестве бесконечных последовательностей вида . Но здесь можно обнаружить, что гораздо удобнее принять базовое пространство равным Ω = [ 0 , 1 ) ; а затем использовать двоичные представления действительных чисел (например, 0,10100 ... ) для представления последовательностей бросков монет (1 - головы, 0 - хвосты). Иллюстрация этого самого примера можно найти в первых нескольких главах вероятности Биллингсли и Мера .$(H,T,H,...)$$\Omega = [0,1)$$0.10100...$

Проблемы, связанные с алгебрами, представляют собой математические тонкости, которые на самом деле не объясняют, почему или нам нужно фоновое пространство . Действительно, я бы сказал, что нет убедительных доказательств того, что фоновое пространство является необходимостью. Для любой вероятностной установки ( E , E , μ ) , где Е является выборочным пространством, E σ - алгебра и μ вероятностная мера, интерес в ц , и нет абстрактной причины того, что мы хотим , μ быть мерой изображения измеримого отображения X : ( Ω , $\sigma$$(E, \mathbb{E}, \mu)$$E$$\mathbb{E}$$\sigma$$\mu$$\mu$$\mu$ .$X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

Однако использование абстрактного фонового пространства дает математическое удобство, которое делает многие результаты более естественными и интуитивно понятными. Цель всегда что - то сказать о , то распределение по X , но это может быть проще и более четко выражены в терминах X .$\mu$$X$$X$

Примером является центральная предельная теорема. Если имеют действительные значения со средним μ и дисперсией σ 2, CLT говорит, что P ( $X_1, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$ гдеΦ- функция распределения для стандартного нормального распределения. Если распределениеXiравноμ,соответствующий результат в терминах меры читается как ρ

$$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$$ $\Phi$$X_i$$\mu$Требуется некоторое объяснение терминологии. Подμ∗nмы подразумеваемn-кратную сверткуμ(распределение суммы). Функцииρcявляются линейными функциямиρc(x)=cxи $$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$$ $\mu^{*n}$$n$$\mu$$\rho_c$$\rho_c(x) = cx$ - перевод τ ξ ( x ) = x - ξ . Можно, вероятно, привыкнуть ко второй формулировке, но она хорошо скрывает, о чем идет речь.$\tau_{\xi}$$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

Проблема, по-видимому, заключается в том, что арифметические преобразования, включенные в CLT, достаточно четко выражены в терминах случайных величин, но они не так хорошо переводятся в терминах мер.

Я только недавно наткнулся на этот новый способ думать о случайной переменной а также о фоновом пространстве Ω . Я не уверен, что это вопрос, который вы искали, так как это не математическая причина, но я думаю, что это дает очень аккуратный способ думать о RVs.$X$$\Omega$

Представьте себе ситуацию, в которой мы бросаем монетку. Эта экспериментальная установка состоит из набора возможных начальных условий, которые включают физическое описание того, как подбрасывается монета. Фоновое пространство состоит из всех возможных начальных условий. Для простоты мы могли бы предположить, что броски монет изменяются только по скорости, тогда мы бы положили $\Omega = [0,v_{max}]$

Тогда случайную переменную можно рассматривать как функцию, которая отображает каждое начальное состояние ω ∈ Ω с соответствующим результатом эксперимента, т. Е. Будь то хвост или голова.$X$$\omega \in \Omega$

Для RV: мера Q будет тогда соответствовать к вероятностной мере по начальным условиям, которая вместе с динамикой эксперимента представлена $X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$$Q$$X$ определяет распределение вероятностей по результатам.

Для справки об этой идее вы можете обратиться к главам Тима Модлина или Майкла Стревенса в «Вероятностях в физике» (2011).