Косвенный путь заключается в следующем:
для абсолютно непрерывных дистрибутивов Ричард фон Мизес (в статье 1936 года «Распределение де ла плюс гранд де вальерс» , которая, как представляется, была воспроизведена на английском языке?) В издании 1964 года с избранным его работы), предоставил следующие достаточные условия для того, чтобы максимум выборки сходился к стандартному Гумбелю G ( х ) :
Пусть - общая функция распределения случайных переменных, а их общая плотность. Тогда, еслиF( х )f ( x )Nе( х )
Итx → F- 1( 1 )( дdИкс( 1 - F( х ) )е( х )) =0⇒ X( н )→dG ( х )
Используя обычные обозначения для стандартной нормали и вычисляя производную, мы имеем
ddИкс( 1 - Φ ( x ) )ϕ(x)=−ϕ(x)2−ϕ′(x)(1−Φ(x))ϕ(x)2=−ϕ′(x)ϕ(x)(1−Φ(x))ϕ(x)−1
Обратите внимание, что . Также для нормального распределения . Таким образом, мы должны оценить пределF-1(1)=∞−ϕ′(x)ϕ(x)=xF−1(1)=∞
limx→∞(x(1−Φ(x))ϕ(x)−1)
Но - это отношение Милла, и мы знаем, что отношение Милля для стандартной нормали стремится к ростом . Так 1/xx(1−Φ(x))ϕ(x)1/xx
limx→∞(x(1−Φ(x))ϕ(x)−1)=x1x−1=0
и достаточное условие выполнено.
Соответствующий ряд задается как
an=1nϕ(bn),bn=Φ−1(1−1/n)
ДОПОЛНЕНИЕ
Это из гл. 10.5 книги HA David & HN Nagaraja (2003), «Статистика заказов» (3-е издание) .
f ( t ) f ( t ) w ( t )ξa=F−1(a) . Кроме того, ссылка на де Хаана звучит так: «Хаан, Л.Д. (1976). Образцы крайностей: элементарное введение. Statistica Neerlandica, 30 (4), 161-172». Но будьте осторожны, поскольку некоторые из обозначений имеют различное содержание в де Хаане - например, в книге - функция плотности вероятности, тогда как в де Хаане означает функцию книги (то есть отношение Милля). Также де Хаан рассматривает достаточное условие, уже дифференцированное.f(t) f(t)w(t)
Вопрос задает две вещи: (1) как показать, что максимум сходится, в том смысле, что сходится (в распределении) для соответственно выбранных последовательностей и , к стандартному распределению Гамбеля и (2) как найти такие последовательности. ( X ( n ) - b n ) / a n ( a n ) ( b n )X(n) (X(n)−bn)/an (an) (bn)
Первый хорошо известен и задокументирован в оригинальных работах по теореме Фишера-Типпетта-Гнеденко (ФТГ). Второй кажется более сложным; это проблема, решаемая здесь.
Пожалуйста, обратите внимание, чтобы уточнить некоторые утверждения, появляющиеся в других местах в этой теме, что
Максимум не сходится ни к чему: он расходится (хотя и крайне медленно).
Похоже, существуют разные соглашения относительно распределения Гамбеля. Я приму соглашение о том, что CDF с обратным распределением Гамбеля, с точностью до масштаба и местоположения, определяется как . Соответствующим образом стандартизированный максимум iid Нормальных вариаций сходится к обращенному распределению Гамбеля.1−exp(−exp(x))
Интуиция
Когда являются IID с общей функцией распределения , распределение максимальной является F X ( n )Xi F Икс( н )
Когда носитель не имеет верхней границы, как в случае нормального распределения, последовательность функций движется навсегда вправо без ограничения:F nF FN
Частичные графики для n = 1 , 2 , 2 2 , 2 4 , 2 8 , 2 16 показаны.FN n = 1 , 2 , 22, 24, 28, 216
Чтобы изучить формы этих распределений, мы можем сдвинуть каждое обратно влево на некоторую величину и изменить его на a n, чтобы сделать их сопоставимыми.бN aN
Каждый из предыдущих графиков был смещен, чтобы поместить его медиану в и сделать его межквартильный диапазон длины единицы.0
FTG утверждает, что последовательности и ( b n ) могут быть выбраны так, чтобы эти функции распределения сходились поточечно при каждом x к некоторому экстремальному распределению значений , вплоть до масштаба и местоположения. Когда F является нормальным распределением, конкретное предельное распределение экстремальных значений является обратным Гумбелем, вплоть до местоположения и масштаба.( аN) ( бN) Икс F
Решение
Поэтому мы можем установить
будет работать нормально (и настолько просто, насколько это возможно).
Ссылки
Б. В. Гнеденко, Об предельном распределении максимального члена в случайном ряду . В Kotz и Johnson, прорывы в статистике, том I: Основы и базовая теория, Springer, 1992. Перевод Нормана Джонсона.
источник