Применение граничных условий Дирихле к уравнению Пуассона методом конечных объемов

10

Я хотел бы знать, как обычно применяются условия Дирихле при использовании метода конечных объемов на неоднородной сетке с центром на ячейках,

Левая сторона ячейки по центру сетки.

Моя текущая реализация просто накладывает граничное условие, фиксируя значение первой ячейки,

ϕ1=gD(xL)

где - это переменная решения, а - значение граничного условия Дирихле в домена ( NB ). Однако это неверно, поскольку граничное условие должно фиксировать значение грани ячейки, а не значение самой ячейки . Что я действительно должен подать заявку,г Д ( х L ) х Lх 1 / 2ϕgD(xL) xLx1/2

ϕL=gD(xL)

Например, давайте решим уравнение Пуассона,

0=(ϕx)x+ρ(x)

с начальными условиями и граничными условиями,

ρ=1gD(xL)=0gN(xR)=0

(где - граничное условие Неймана с правой стороны).gN(xR)

Численное решение уравнения Пуассона

Обратите внимание, как численное решение зафиксировало значение переменной ячейки в значении граничного условия ( ) с левой стороны. Это влияет на смещение всего решения вверх. Эффект можно минимизировать, используя большое количество точек сетки, но это не является хорошим решением проблемы.gD(xL)=0

Вопрос

Как применяются граничные условия Дирихле при использовании метода конечных объемов? Я предполагаю, что мне нужно исправить значение путем интерполяции или экстраполяции с использованием (призрачная точка) или так, чтобы прямая линия, проходящая через эти точки, имела желаемое значение в . Можете ли вы дать какое-либо руководство или пример того, как это сделать для неоднородной ячейки с центрированием?ϕ 0 ϕ 2ϕ1ϕ0ϕ2xL


Обновить

Вот моя попытка использовать подход, который вы предложили, это выглядит разумно?

Уравнение для ячейки (где представляет поток ),Ω1 ϕFϕ

F3/2FL=ρ¯

Нам нужно написать в терминах граничного условия, используя призрачную ячейку , Ω 0FLΩ0

FL=ϕ1ϕ0h[1]

Но в конечном итоге нам нужно исключить из уравнения. Для этого мы напишем второе уравнение, которое представляет собой линейную интерполяцию от центра ячейки к центру ячейки . Удобно, чтобы эта линия проходила через , так что условия Дирихле входят в дискретность (потому что значение в этой точке просто ),Ω 0 Ω 1 x Lϕ0Ω0Ω1xLgD(xL)

gD(xL)=h12hϕ0+h02hϕ1[2]

Комбинируя уравнения 1 и 2, мы можем исключить и найти выражение для в терминах и ,F L ϕ 1 г Dϕ0FLϕ1gD(xL)

FL=1h(ϕ11h1(2gDhh1ϕ1))

Предполагая, что мы свободны выбирать объем ячейки-призрака, мы можем установить чтобы дать,h0h1

FL=2gDh1+2ϕ1h

Это можно еще больше упростить, потому что если ячейки и имеют одинаковую громкость, то мы можем установить наконец,Ω 1 чΩ0Ω1hh1

FL=2h1(ϕ1gD)

Тем не менее, этот подход восстановил определение, которое является нестабильным, поэтому я не слишком уверен, как действовать? Я неправильно истолковал ваш совет (@Jan)? Странно то, что, кажется, работает, см. Ниже,

Смотрите ниже, это работает,

Обновленные вычисления, новый подход очень хорошо согласуется с аналитическим подходом.

boyfarrell
источник
Правильно, ваш вывод правильный. И это действительно напоминает то, что я назвал (**) в своем ответе. И, таким образом, он доказал свою стабильность. Я добавлю комментарий в моем ответе.
января
Кроме того, как общее замечание, результаты стабильности обычно являются достаточными условиями. Т.е., если схема не соответствует условиям, в некоторых ситуациях она вполне может дать надежные результаты.
января

Ответы:

3

При анализе устойчивости FVM-дискретизаций для эллиптических задач с Dirichlet BC центральное предположение заключается в том, что внутренние ячейки, в которых находится PDE, не имеют пересечения с границей, т.е. если рассматривать его как набор в если ваш домен , см., например, книгу [ Grossmann & Roos , p. 92]R n - 1 Ω

Ω¯iΓD=0()
Rn1ΩRn

Таким образом, если в вашей настройке, подход неустойчиво, что не противоречит известным результатам об устойчивости. РЕДАКТИРОВАТЬ : Используя призрачную ячейку и линейную интерполяцию в нее, для конкретного выбора объема и расстояния, можно получить в качестве потока. Таким образом, действительно стабильная схема.( ) ( )

(dϕdx)1/2=2h1(ϕ1ϕ1/2)()
()()

Стабильность и сходимость (первого порядка в дискретной максимальной норме) для задачи Пуассона была доказана Гроссманом и Роосом для сеток с четкими граничными ячейками с их "центрами" на фактической границе, как показано на моем рисунке для одномерного случая. введите описание изображения здесь

Здесь дифференциальное отношение на границе аппроксимируется прямым способом.

Я бы сказал, что призрачные клетки - это общий подход по двум причинам.

  • Они имитируют стабильную ситуацию, описанную на моем рисунке, но с интерполированным граничным условием.
  • Они просто привязаны к физической границе. Таким образом, можно использовать триангуляцию домена, что также является преимуществом, поскольку часто есть также естественные BC, которые непосредственно накладываются на интерфейс [ Grossmann & Roos , p. 101].

Итак, я предлагаю вам использовать клетки-призраки для границы Дирихле. В вашем примере это будет добавление в вашу систему и условие, что интерполант между , и, возможно, другими равен на границе.ϕ 0 ϕ 1 г Dϕ0ϕ0ϕ1gD

январь
источник
Спасибо, Ян, это действительно интересно. Это, конечно, подражает моему опыту, когда некоторые подходы нестабильны. Я прав, если я использую подход ячейки-призрака, мне не нужно смещать последнюю ячейку так, чтобы центр находился на границе? У меня также есть проблема с концепцией сдвига граничной ячейки; не означает ли это, что эта ячейка имеет нулевой объем?
Бойфаррелл
hΓ
hΓ0ϕ1ϕ0
Можно ли при таком подходе устранить зависимость от значения ячейки-призрака? Я думаю, это не должно быть включено в уравнения, а только использовать инструмент для записи граничных условий. По поводу «сдвинутой» граничной ячейки. Похоже, что эта точка использует метод конечных разностей, а не метод конечных объемов. Это было бы точно?
boyfarrell
1
Хорошо я понял! Спасибо. Есть опечатка. во втором абзаце «Таким образом, если в вашей настройке подход [eqn] нестабилен, это не противоречит известным результатам стабильности». Не «нет» должно быть «в» . Это меняет смысл предложения на противоположное тому, что вы хотите (я думаю)!
Бойфаррелл
3

ϕ1ϕ2ϕ1x2x1(x1x0)=0x0xiϕiϕ1ϕ2ϕ1

Здесь вы обнаружите, почему конечные объемы не часто используются для эллиптических уравнений, для которых ставятся условия Дирихле. Они используются для законов сохранения, где более естественные условия указаны в терминах потоков.

Вольфганг Бангерт
источник
3

d2ϕdx2=f
(dϕdx)3/2(dϕdx)1/2=x1/2x3/2fdx
(dϕdx)3/2=ϕ2ϕ1h+

(dϕ/dx)1/2ϕ1/2x1/2x1x2h

(dϕdx)1/2=1h(13ϕ2+3ϕ183ϕ1/2)
(dϕdx)1/2=2h1(ϕ1ϕ1/2)

Конечно, одна вещь, которую также необходимо проверить, это стабильность вашей дискретизации с приближением второго порядка на границе. Сверху головы я не знаю, будет ли она стабильной в сочетании с центрированным приближением второго порядка во внутренней части. Анализ стабильности матрицы скажет вам наверняка. (Я практически уверен, что первое приближение на границе будет устойчивым.)

Вы упоминаете о возможности использования призрачных очков. Это приводит к проблеме, что вам нужно экстраполировать изнутри в призрачную точку и использовать в процессе bc. Я подозреваю, но не «доказал» это, что, по крайней мере, некоторые виды лечения побочных эффектов эквивалентны использованию подхода, который я изложил выше.

Надеюсь, это поможет немного.

Брайан Затапатик
источник
Привет Брайан. Я не думал, что было возможно применить граничные условия Дирихле, используя форму потока (то есть слабо). На самом деле, я задал этот вопрос несколько месяцев назад, scicomp.stackexchange.com/questions/7777/… Тогда я пытался реализовать нечто подобное, но по какой-либо причине реализация была нестабильной и всегда терпела неудачу. Знаете ли вы ссылку, в которой условия Дирихле применяются к уравнению Пуассона, мне интересно знать, что является стандартным ? Может быть, это не сделано для эллиптических уравнений?
Boyfarrell
Я не знаю стандарта, но не могу представить, что все такие реализации нестабильны. Вы пробовали матричный анализ? Это должно быть очень просто выполнить в этом случае. Люди действительно решают уравнения Навье-Стокса с помощью обработки точек-призраков и обработок, подобных приведенной выше. (Конечно, вязкие эффекты не доминируют до такой степени, что вы можете рассматривать уравнение Пуассона как хорошую модель.) Возможно, эти ссылки помогут: ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/ … И nas.nasa.gov/assets/pdf/techreports/1997/nas-97-011.pdf
Брайан Затапатик,
Привет Брайан. Нет, я не пробовал матричный анализ. Если честно, я не слишком уверен, как это сделать. На следующей неделе у меня будет время вернуться к этой проблеме, чтобы я мог опубликовать новый вопрос!
Бойфаррелл
Насколько я понимаю, экстраполяция точек-точек (квадратичная) в конечном итоге оказывается эквивалентной классической дискретизации с конечной разностью Шортли-Веллера для нерегулярных (искривленных) граничных условий Дирихле, например, как описано на стр. 74 численного решения уравнений Мортона и Мейерса для уравнений в частных производных (2-е) издание). (Версия с линейной экстраполяцией эквивалентна более простому методу Gibou et al. Sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999101969773 ) Также: и линейные, и квадратичные экстраполенты дают точные решения 2-го порядка, но линейные только градиенты 1-го порядка.
Бэтти