Применение граничных условий Дирихле к уравнению Пуассона методом конечных объемов

Я хотел бы знать, как обычно применяются условия Дирихле при использовании метода конечных объемов на неоднородной сетке с центром на ячейках,

Моя текущая реализация просто накладывает граничное условие, фиксируя значение первой ячейки,

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

где - это переменная решения, а - значение граничного условия Дирихле в домена ( NB ). Однако это неверно, поскольку граничное условие должно фиксировать значение грани ячейки, а не значение самой ячейки . Что я действительно должен подать заявку,г Д ( х L ) х L ≡ х 1 /$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

Например, давайте решим уравнение Пуассона,

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

с начальными условиями и граничными условиями,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(где - граничное условие Неймана с правой стороны).$g_N(x_R)$

Обратите внимание, как численное решение зафиксировало значение переменной ячейки в значении граничного условия ( ) с левой стороны. Это влияет на смещение всего решения вверх. Эффект можно минимизировать, используя большое количество точек сетки, но это не является хорошим решением проблемы.$g_D(x_L)=0$

Вопрос

Как применяются граничные условия Дирихле при использовании метода конечных объемов? Я предполагаю, что мне нужно исправить значение путем интерполяции или экстраполяции с использованием (призрачная точка) или так, чтобы прямая линия, проходящая через эти точки, имела желаемое значение в . Можете ли вы дать какое-либо руководство или пример того, как это сделать для неоднородной ячейки с центрированием?ϕ 0 ϕ $\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

---

Обновить

Вот моя попытка использовать подход, который вы предложили, это выглядит разумно?

Уравнение для ячейки (где представляет поток ),$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

Нам нужно написать в терминах граничного условия, используя призрачную ячейку , Ω $\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

Но в конечном итоге нам нужно исключить из уравнения. Для этого мы напишем второе уравнение, которое представляет собой линейную интерполяцию от центра ячейки к центру ячейки . Удобно, чтобы эта линия проходила через , так что условия Дирихле входят в дискретность (потому что значение в этой точке просто ),Ω 0 Ω 1 x $\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

Комбинируя уравнения 1 и 2, мы можем исключить и найти выражение для в терминах и ,F L ϕ 1 г $\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

Предполагая, что мы свободны выбирать объем ячейки-призрака, мы можем установить чтобы дать,$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

Это можно еще больше упростить, потому что если ячейки и имеют одинаковую громкость, то мы можем установить наконец,Ω 1 $\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

Тем не менее, этот подход восстановил определение, которое является нестабильным, поэтому я не слишком уверен, как действовать? Я неправильно истолковал ваш совет (@Jan)? Странно то, что, кажется, работает, см. Ниже,

Смотрите ниже, это работает,

При анализе устойчивости FVM-дискретизаций для эллиптических задач с Dirichlet BC центральное предположение заключается в том, что внутренние ячейки, в которых находится PDE, не имеют пересечения с границей, т.е. если рассматривать его как набор в если ваш домен , см., например, книгу [ Grossmann & Roos , p. 92]R n - 1 Ω

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

Таким образом, если в вашей настройке, подход неустойчиво, что не противоречит известным результатам об устойчивости. РЕДАКТИРОВАТЬ : Используя призрачную ячейку и линейную интерполяцию в нее, для конкретного выбора объема и расстояния, можно получить в качестве потока. Таким образом, действительно стабильная схема.( ∗ ∗ ) ( ∗ ∗

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

Стабильность и сходимость (первого порядка в дискретной максимальной норме) для задачи Пуассона была доказана Гроссманом и Роосом для сеток с четкими граничными ячейками с их "центрами" на фактической границе, как показано на моем рисунке для одномерного случая.

Здесь дифференциальное отношение на границе аппроксимируется прямым способом.

Я бы сказал, что призрачные клетки - это общий подход по двум причинам.

• Они имитируют стабильную ситуацию, описанную на моем рисунке, но с интерполированным граничным условием.
• Они просто привязаны к физической границе. Таким образом, можно использовать триангуляцию домена, что также является преимуществом, поскольку часто есть также естественные BC, которые непосредственно накладываются на интерфейс [ Grossmann & Roos , p. 101].

Итак, я предлагаю вам использовать клетки-призраки для границы Дирихле. В вашем примере это будет добавление в вашу систему и условие, что интерполант между , и, возможно, другими равен на границе.ϕ 0 ϕ 1 г $\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

Здесь вы обнаружите, почему конечные объемы не часто используются для эллиптических уравнений, для которых ставятся условия Дирихле. Они используются для законов сохранения, где более естественные условия указаны в терминах потоков.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

Конечно, одна вещь, которую также необходимо проверить, это стабильность вашей дискретизации с приближением второго порядка на границе. Сверху головы я не знаю, будет ли она стабильной в сочетании с центрированным приближением второго порядка во внутренней части. Анализ стабильности матрицы скажет вам наверняка. (Я практически уверен, что первое приближение на границе будет устойчивым.)

Вы упоминаете о возможности использования призрачных очков. Это приводит к проблеме, что вам нужно экстраполировать изнутри в призрачную точку и использовать в процессе bc. Я подозреваю, но не «доказал» это, что, по крайней мере, некоторые виды лечения побочных эффектов эквивалентны использованию подхода, который я изложил выше.

Надеюсь, это поможет немного.