Как следует применять граничные условия при использовании метода конечных объемов?

Исходя из моего предыдущего вопроса, я пытаюсь применить граничные условия к этой неоднородной сетке конечного объема,

Я хотел бы применить граничное условие типа Робина к lhs области ( $x=x_L)$ , так что

$$\sigma_L = \left( d u_x + a u \right) \bigg|_{x=x_L}$$

где - граничное значение; a , d - коэффициенты, определенные на границе, адвекции и диффузии соответственно; u x = ∂ $\sigma_L$$a, d$ - производная отu,вычисленная на границе, аu- переменная, для которой мы решаем.$u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$$u$$u$

Возможные подходы

Я могу думать о двух способах реализации этого граничного условия на вышеупомянутой сетке конечного объема:

1. Подход клетки-призрака.

   Запишите как конечную разницу, включая ячейку-призрак. σ L = d u 1 - u $u_x$

   $$\sigma_L = d \frac{u_1 - u_0}{h_{-}} + a u(x_L)$$

   A. Затем используйте линейную интерполяцию с точками и x 1, чтобы найти промежуточное значение u ( x L ) .$x_0$$x_1$$u(x_L)$

   Б. В качестве альтернативы найдите путем усреднения по ячейкам, u ( x L ) = $u(x_L)$$u(x_L) = \frac{1}{2}(u_0 + u_1)$

   В любом случае зависимость от клетки-призрака может быть устранена обычным способом (путем подстановки в уравнение конечного объема).

2. Экстраполяционный подход.

   Установите линейную (или квадратичную) функцию для , используя значения в точках x 1 , x 2 ( x 3 ). Это обеспечит значение в u ( x L$u(x)$$x_1, x_2$$x_3$$u(x_L)$ . Затем можно дифференцировать линейную (или квадратичную) функцию, чтобы найти выражение для значения производной на границе. Этот подход не использует призрачную ячейку.$u_x(x_L)$

Вопросов

• Какой подход из трех (1А, 1В или 2) является «стандартным» или вы бы порекомендовали?
• Какой подход вносит наименьшую ошибку или является наиболее стабильным?
• Я думаю, что могу реализовать подход с ячейками-призраками, однако, как можно реализовать подход экстраполяции, у этого подхода есть имя?
• Есть ли разница в устойчивости между подгонкой линейной функции или квадратным уравнением?

Конкретное уравнение

Я хочу применить эту границу к уравнению адвекции-диффузии (в форме сохранения) с нелинейным исходным членом,

$$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$$

Дискретизация этого уравнения на приведенной выше сетке с использованием метода дает$\theta$

$$w_{j}^{n+1} - \theta r_a w_{j-1}^{n+1} - \theta r_b w_{j}^{n+1} - \theta r_c w_{j+1}^{n+1} = w_j^n + (1-\theta) r_a w_{j-1}^n + (1-\theta) r_b w_j^n + (1-\theta) r_c w_{j+1}^n + s(x_j,t_n)$$

Однако для граничной точки ( ) я предпочитаю использовать полностью неявную схему ( θ = 1 ), чтобы уменьшить сложность,$j=1$$\theta=1$

$$w_{1}^{n+1} - r_a w_{0}^{n+1} - r_b w_{1}^{n+1} - r_c w_{2}^{n+1} = w_1^n + s_1^n$$

Обратите внимание на призрачную точку , она будет удалена путем применения граничного условия.$w_0^{n+1}$

Коэффициенты имеют определения,

$$r_a = \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{ah_j}{2h_{-}} + \frac{d}{h_{-}} \right)$$

$$r_b = - \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{a}{2}\left[ \frac{h_{j-1}}{h_{-}} - \frac{h_{j+1}}{h_{+}} \right] + d\left[-\frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}} \right]\right)$$

$$r_c = \frac{\Delta t}{h_j}\left(- \frac{ah_j}{2h_{+}} + \frac{d}{h_{+}} \right)$$

Все переменные определены так, как показано на рисунке выше. Наконец, Δ T , который является временным шагом ($h$$\Delta t$ NB это упрощенный случай с постоянными и д коэффициентами, на практике "$a$$d$ » коэффициенты немного более сложные по этой причине).$r$

Это скорее общее замечание о FVM, чем ответ на конкретные вопросы. И сообщение состоит в том, что не должно быть необходимости в такой специальной дискретизации граничных условий.

В отличие от FE- или FD-методов, где отправной точкой является дискретный анзац для решения, подход FVM оставляет решение нетронутым (сначала), но усредняет по сегментации домена. Дискретизация решения вступает в силу только тогда, когда полученная система уравнений баланса превращается в систему алгебраических уравнений путем аппроксимации потоков через границы раздела.

В этом смысле, учитывая граничные условия, я советую придерживаться непрерывной формы решения как можно дольше и вводить дискретные приближения только в самом конце.

Скажем, уравнение выполняется на всей области. Тогда оно выполнено на подобласти [ 0 , h 1 ) , и интегрирование в пространстве дает ∫ h 1 0

$$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$$ $[0,h_1)$ $$\begin{align} \int_0^{h_1}u_t \text{d}x &=& \int_0^{h_1} \partial_x(-au + du_{x})\text{d}x &+& \int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x \\ &=& (-au + du_{x})|_{x=h_1}-(-au + du_{x})|_{x=0}&+&\int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x, \end{align}$$ $u$

$C_i$$u$$u(t,x)|_{C_i} = u_i(t)$$u(x_i)\approx u_i$$u_x|_{h_i}$ at the cell boarders via the difference quotient in $u_{i}$ and $u_{i+1}$. To express $u$ at the cell boarders one can use interpolation (i.e. central differences or upwind schemes).

What to do at the boundary? In the example, it is all about approximating $(-au + du_{x})|_{x=0}$, no matter what has been done to $u$ so far.

• Given $u|_{x=0}=g_D$ one can introduce a ghost cell and the condition that an interpolant between $u_0$ and $u_1$ is equal to $g_D$ at the boarder.

• Given ${u_x|}_{x=0} = g_N$ one can introduce a ghost cell and the condition that an approximation to the derivative between $u_0$ and $u_1$ matches $g_N$ at the boarder

• If the flux itself is prescribed: $(-a u + du_x )|_{x=0}= g_R$, there is no need for a discretization.

However, I am not sure, what to do in the case that there are Robin type bc's that do not match the flux directly. This, will need some regularization because of the discontinuity of the advection and diffusion parameters.

---

===> Some personal thoughts on FVM <===

• FVM is not a scaled FDM, as examples of 1D Poisson's equations on a regular grid often suggest
• There shouldn't be a grid in FVM, there should be cells with interfaces and, if necessary, centers
• That's why I think that a stencil formulation of the discretization is not suitable
• Assembling of the equation system should be done according to the discretization approach, i.e. by iterating over the cells rather than defining an equation for every unknown. I mean to think of the $i$-th row of the coefficient matrix as the part of the problem posed on cell $\Omega_i$, rather than of the equation that is associated with $u_i$.
• This is particularly important for 2D or 3D problems but may also help to have a clear notation in 1D: Make a difference between the volume (in 1D: length) of the cell, here $h_i$, and the distance between the centers, maybe in 1D: $d_i:=d_{i,i+1}=|x_i-x_{i+1}|$.

---