Как бороться с изогнутым граничным условием при использовании метода конечных разностей?

Я пытаюсь узнать о численном решении PDE самостоятельно.

Я начал с метода конечных разностей (FDM) в течение некоторого времени, потому что я слышал, что FDM является основой многочисленных численных методов для PDE. До сих пор я немного разбирался в FDM и был в состоянии написать коды для некоторого простого PDE, лежащего в обычном регионе, с материалами, которые я нашел в библиотеке и в Интернете, но, что странно, те материалы, которые у меня есть, обычно мало говорят про обработку нерегулярной, изогнутой, странной границы, вот так .

Более того, я никогда не видел простой способ справиться с изогнутой границей. Например, книга « Численное решение уравнений с частными производными - введение» (Мортон К., Майерс Д.) , в которой содержится наиболее подробное обсуждение (в основном из 3.4 на стр. 71 и 6.4 на стр. 199), которое я видел до сих пор, перешло к экстраполяция, которая действительно громоздка и расстраивает меня.

Итак, как следует из названия, в отношении изогнутой границы, как обычно люди справляются с этим при использовании FDM? Другими словами, какое лечение наиболее популярно? Или это зависит от типа PDE?

Есть ли (по крайней мере, относительно) элегантный и высокоточный способ справиться с изогнутой границей? Или это просто неизбежная боль?

Я даже хочу спросить, действительно ли люди в настоящее время используют FDM для изогнутой границы? Если нет, каков общий метод для этого?

Любая помощь будет оценена.

pde finite-difference boundary-conditions xzczd
источник

Ответы:

Отвечая на ваш последний вопрос в первую очередь, люди на самом деле используют FDM для изогнутой границы в настоящее время, я бы сказал, что ответ - нет. В мире коммерческих CFD схемы конечного объема с точностью до 2-го порядка являются отраслевым стандартом де-факто. Одним из преимуществ FV (и упомянутых Джедом подходов к конечным элементам / разрывным галеркинам) перед FD является гораздо более естественная обработка сложных границ. FD обеспечивает основу многих численных методов (включая FV), и это необходимо изучить в качестве первого шага, но это не рекомендуется для крупномасштабных сложных задач.

$(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$ , Тогда можно переписать такие термины, как

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial x}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

Я бы сказал, что подобранный по сетке подход является «самым популярным методом» для работы с изогнутыми границами в FD, с оговоркой, что сами методы FD больше не очень «популярны» для сложных приложений. Редко можно встретить их в литературе по CFD, за исключением очень простых областей.

Аврелий
источник

Ваше утверждение "Я бы сказал, что ответ" нет "неверно. Visbal и Gaitonde активно работают с FD высшего порядка в коде FDL3DI . Кроме того, НАСА код OVERFLOW является кодом FD (насколько я знаю / могу сказать).

Брайан Затапатик

Изначально OVERFLOW был просто FD, но теперь он обычно использует разделение потока FV (AUSM, HLLC и т. Д. В гл. 1 вашей ссылки). Это также определенно «устаревший» код. Эта ссылка FDL3DI появилась в 90-х годах, когда работа на основе конечных элементов / DG высокого порядка находилась в зачаточном состоянии, и не было каких-либо демонстрирующих жизнеспособность схем конечного объема с высокой точностью. Я думаю, вам будет сложно убедить кого-то в 2013 году начать разработку кода, основанного на компактной стратегии конечных разностей этой работы. Как бы ни был элегантен, он очень ограничен для приложений.

Аврелий

Я не согласен с общностью вашего утверждения о том, что не рекомендуется использовать FD для решения сложных сложных задач. В настоящее время люди в HPC стремятся переделать свои схемы конечных элементов в стиле трафарета и использовать (полу) структурированные сетки для эффективной реализации решателей без матрицы для экстремальных вычислений. Таким образом, какими бы немодными они ни были, люди все еще хотят использовать конечные различия. Не говоря уже о том, что есть приложения, в которых вы можете использовать структурированные сетки. Для сложных геометрий стандартный FD болезнен, и, возможно, это то, что вы хотели заявить.

Кристиан Валуга

Для простых изогнутых геометрий FD высокого порядка выиграет у методов спектральных разностей / объемов высокого порядка, реконструкции потока или DG на основе эффективности (точность / время). Для сложных задач генерация сетки может быть достаточно головной болью, чтобы заставить вас попробовать альтернативные подходы. Не следует забывать, что очень значительная гибкость вышеупомянутых методов требует значительных затрат, см. Эту статью Loehner . Это одна из причин, почему FDL3DI и OVERFLOW все еще видят применение.

Брайан Затапатик

@ChristianWaluga да, это в основном то, что я пытался заявить. Очевидно, что идеи FD находят свое применение в других приложениях (например, градиенты в FV вычисляются с помощью конечных разностей), и в некоторых областях, таких как DNS, на простых геометриях, которые вы видите, они используются. Но для кодов общего назначения тенденция за последние 2 десятилетия была довольно четкой в стороне от чистого FD.

Аврелий

Кривые границы описаны в большинстве книг CFD, например, в главе 11 «Весселинг» или в главе 8 «Ферцигер и Перик» .

Хотя это и не является фундаментальной теоретической проблемой, практическая сложность реализации граничных условий для методов высокого порядка на изогнутых границах является существенной причиной для интереса к более геометрически гибким методам, таким как метод конечных элементов (включая прерывистый Галеркина). Структурированные сетки с конечной разностью и сетки с конечным объемом все еще используются в некоторых симуляциях CFD, но неструктурированные методы набирают популярность, и локальные операции, используемые неструктурированными методами высокого порядка, на самом деле довольно эффективны и, таким образом, могут не сильно пострадать по сравнению с аналогичными FD. методы. (Действительно, геометрическая гибкость часто делает их более эффективными.)

Джед браун
источник

Отличный ответ Джед. Существует очень пошаговое руководство о том, как лечить нерегулярные БК в проблеме с жидкостями, найденной в моей диссертации p38-46. Честно говоря, это большая боль A * # делать это в формулировках FD. Важно понять, что изогнутые BC могут быть аппроксимированы большим количеством бесконечно малых прямых.

meawoppl

Я работал над высокой точностью FDM в течение последних n лет. и я использовал уравнение электростатики -2 дим Лапласа в качестве примера для явной разработки алгоритмов высокой точности. Примерно 4 года назад проблемы были построены с точками горизонтальной или вертикальной линии потенциального разрыва. если вы гуглите мое имя и fdm высокой точности, вы должны найти ссылки. но это не твой вопрос. Ваш вопрос - это FDM и изогнутые границы. около года назад я представил решение порядка 8 в Гонконге (см . Метод конечных разностей для цилиндрически-симметричной электростатики, имеющей криволинейные границы), который создал порядка 8 алгоритмов для внутренних точек, близких к границе, и для них, конечно, потребовались бы точки на другой стороне границы. точки на другой стороне границы были помещены туда, просто расширяя сетку на другую сторону. после этого вопрос заключался в том, как найти значения этих точек при расслаблении сетки. это было достигнуто путем интегрирования от границы (известный потенциал) до точки с использованием алгоритмов. он был достаточно успешным и достаточно точным ~ <1e-11, НО требовалось 103 алгоритма, каждый из которых был разработан индивидуально, и это было несколько хрупко, можно было найти нестабильные геометрии. Чтобы исправить вышесказанное, было найдено решение (порядок 8 и ниже) с использованием (одного!) минимального алгоритма, и решение демонстрирует значительную устойчивость. он был отправлен, но будет доступен в качестве препринта по электронной почте. Я полагаю, что этот метод можно было бы распространить на независимые от времени pde (требуются линейные), отличные от лапласа, и на размеры выше 2. Я не рассматривал проблему, зависящую от времени, но метод, являющийся техникой степенного ряда, должен быть адаптируемым и применимым. Дэвид

Дэвид
источник

Если бы вы могли отправить свой документ на сервер препринтов (например, arXiv), а затем сделать ссылку на него здесь, это улучшило бы ваш ответ. Вообще говоря, ответы не должны содержать адреса электронной почты. Я также призываю вас сделать ваш ответ более кратким.

Джефф Оксберри