Написание конечно-разностной матрицы уравнения Пуассона с граничными условиями Неймана

Я заинтересован в решении уравнения Пуассона с использованием метода конечных разностей. Я хотел бы лучше понять, как написать матричное уравнение с граничными условиями Неймана. Будет ли кто-то пересмотреть следующее, это правильно?

Конечно-разностная матрица

Уравнение Пуассона,

\frac{\partial^{2} U (Икс)}{\partial {Икс}^{2}} знак равно d (Икс)

$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$

может быть аппроксимировано конечно-разностным матричным уравнением,

\frac{1}{(Δ Икс)^{2}} M ∙ \hat{U} знак равно \hat{d}

$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$

где - матрица а и - (столбец) векторов, $\textbf{M}$ $n \times n$ $\hat u$ $\hat d$ $1 \times n$

Разностная матрица уравнения Пуассона

Добавление граничного условия Неймана

Граничное условие Неймана обеспечивает известный поток на границе (здесь мы применяем его в левой части, где граница находится в ), $x=0$

\frac{\partial U (Икс знак равно 0)}{\partial Икс} знак равно σ

$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$ записывающий это граничное условие как центрированную конечную разность,

Ошибка в уравнении. NB. Я изначально допустил ошибку здесь, подписал ошибку и не разделил на 2. Следующее было исправлено.

\frac{U_{2} - U_{0}}{2 Δ Икс} знак равно σ

$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$

Обратите внимание на введение точки сетки за пределы исходного домена ( ). Этот член можно исключить, введя второе уравнение, $u_0$

\frac{U_{0} - 2 U_{1} + U_{2}}{(Δ Икс)^{2}} знак равно d_{1}

$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$

Уравнение возникает из-за наличия большей информации из-за введения новой точки сетки. Это позволяет нам записать двойную производную как границу в терминах используя центральную разность. $u_1$ $u_0$

Часть, в которой я не уверен

Комбинируя эти два уравнения, можно исключить. Чтобы показать работу, давайте сначала перестроим для неизвестного, $u_0$

U_{0} знак равно - 2 σ Δ Икс + U_{2} U_{0} знак равно (Δ Икс)^{2} d_{1} + 2 U_{1} - U_{2}

$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$

Далее они устанавливаются равными и переставляются в форму,

\frac{U_{2} - U_{1}}{(Δ Икс)^{2}} знак равно \frac{d_{1}}{2} + \frac{σ}{Δ Икс}

$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$

Я выбрал эту форму, потому что она такая же, как матричное уравнение выше. Обратите внимание, что члены делятся на как здесь, так и в исходном уравнении. Это правильный подход? $u$ $(\Delta x)^2$

Наконец, используя это уравнение в качестве первого ряда матрицы,

Уравнение Пуассона с граничным условием Неймана в левой части (исправлено)

Несколько заключительных мыслей,

Является ли эта окончательная матрица правильной?
Мог ли я использовать лучший подход?
Есть ли стандартный способ написания этой матрицы?

finite-difference boundary-conditions poisson banded-matrix boyfarrell
источник

В ваших вычислениях есть две ошибки: конечная разность по центру должна делиться на . Во-вторых, также неверно, потому что минус должен быть плюсом.

2 Δ x

$2 \Delta x$

u_{0} = - σ Δ x + u_{2}

$u_0 = - \sigma \Delta x + u_2$

vanCompute

Это прекрасно проработано в тексте о конечных разностях в LeVeque , глава 2.

Дэвид Кетчон

Эти вопросы также хорошо объяснены в Scientificpython.net/1/post/2013/01/…

Евгений Сергеев

не могли бы вы посмотреть этот scicomp.stackexchange.com/questions/14306/…

usumdelphini

Ответы:

Я думаю, что вы на правильном пути. Если вы исправите свои ошибки, это будет очень похоже на http://www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdf .

vanCompute
источник

Спасибо за комментарии и исправления. Я обновил свой вопрос с исправлениями. Я считаю, что это правильно сейчас.

boyfarrell

$u_0$

Отойдите назад и подумайте о проблеме на секунду. Определение уравнения Лапласа в основном гласит, что каждая точка является средним числом ее соседей. Это обычно визуализируется как резиновый лист, и помогает мне думать об этих вещах. (Пуассон похож на более или менее эластичные точки)

Когда вы указываете значение поверхности решения на самых внешних краях, вы «закрепляете» лист в пространстве в этих точках. Когда вы указываете лист по его производной по краям, существует любое количество решений, которые удовлетворяют уравнению, которое переводит лист в пространство, сохраняя при этом ту же фактическую форму и, следовательно, производные.

$u_0 = 0$

meawoppl
источник

Таким образом, в общем случае уравнение Пуассона решается хотя бы с одним граничным условием Дирихле, чтобы найти единственное решение? Я думаю, что имеет смысл, что граничные условия Неймана имеют смысл только тогда, когда источник и стоки включены, в противном случае существует бесконечное количество решений. Однако, если я вместо этого возьму уравнение диффузии, иногда для правильной физики требуются граничные условия Неймана (например, отсутствие потока величины через границу, когда du / dx = 0). Это то, что меня действительно интересует. Является ли вышеуказанный метод правильным подходом для применения Неймана BC?

boyfarrell

Вы не можете применять БК Neumann на всех сторонах вашей бумаги. Если вы это сделаете, у вас не будет уникального решения. Он должен быть закреплен как минимум с одной стороны.

vanCompute

@meawoppl: Как определить фиксированную точку, а также решить матрицу напрямую?

jvriesem

Как правило, просто присваивая точку константе, устанавливая только один член в строке равным 1, остальные ноль и значение в RHS, которое соответствует плоскости решения, которую вы хотите увидеть.

Meawoppl