Механика твердого тела с конечными отличиями: как работать с «угловыми узлами»?

11

У меня есть вопрос, касающийся кодирования граничных условий для механики твердого тела (линейная упругость). В особом случае я должен использовать конечные различия (3D). Я очень новичок в этой теме, поэтому, возможно, некоторые из следующих вопросов могут быть очень простыми.

Чтобы привести к моей конкретной проблеме, прежде всего я хочу показать то, что я уже реализовал (чтобы было ясно, я буду использовать только 2D).

1.) У меня есть следующая дискретизация , показывающая первый компонент дивергенции :dяv(σ)знак равно0σИксИксИкс+σИксYYзнак равно0

диск

Я использую неразнесенную сетку, поэтому Ux и Uy определены в одном месте.

2.) Следующим шагом было рассмотрение границ, где я использую «призрачные узлы». Согласно , где - напряжение на границе.σNзнак равноT*T*

граница

а) Здесь я использую чтобы получить Ux в точке-призраке, как и все остальные значения Ux и Uy (внутри тела). - это значение этого напряжения на границе (обычно ноль).(λ+2μ)UИксИкс+λUYYзнак равноσИксИкс*σИксИкс*

б) та же процедура, только через Я получаю Uy у призрака точка. И снова - это значение этого напряжения на границе (обычно ноль).μUИксY+μUYИксзнак равноσИксY*σИксY*

3.) Я думаю, что до сих пор все мои шаги кажутся логичными, если нет, пожалуйста, поправьте меня . Но теперь есть и «угловые узлы», где я понятия не имею, как с ними обращаться.

угол

Чтобы моя схема для работала на угловом узле, мне нужны Ux и Uy в узле слева внизу. Но здесь моя ранее процедура, как в 2.), не работает, так как узел не ортогональн к границе. Я уже пытался экстраполировать смещения, но, похоже, это приведет к проблемам со стабильностью (я решаю всю проблему неявным образом с помощью итерационного решателя).dяv(σ)знак равно0

Поэтому мой вопрос в том, как правильно обрабатывать эти «угловые узлы»? Я рад за каждую идею.

Феликс Шваб
источник

Ответы:

2

У меня были подобные проблемы с угловыми граничными условиями, особенно при решении задач структурной плиты с равномерно приложенным поперечным давлением. В частности, если кто-то пытается получить сдвиговые нагрузки по краям (включая углы). Сдвиговые нагрузки являются функцией ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y. Используя центральную разностную схему, для определения этой производной нужен «призрачный» узел, который расположен по диагонали к угловому узлу. Я не верю, что усреднение на основе соседних узлов является уместным. Я использовал крутящий момент Mxy, который я вычислил в угловом узле, и приравнял его к конечной разности «молекулы» для крутящего момента как функции смещений. Поскольку я уже знал смещения всех других смежных узлов (основываясь на граничных условиях вдоль краев пластины), решить этот «хитрый» угловой узел было несложно. Надеюсь, это поможет.

Родригес
источник
1

Возможно, вы пытаетесь решить систему уравнений, которая не имеет единственного решения. Представьте, что у вас есть группа узлов, соединенных пружинами, плавающими в пространстве, и вы хотите найти положение равновесия каждого узла. Если система не привязана к чему-либо фиксированному (или не применяется сила), существует множество возможных решений. Любое решение всегда можно перевести или повернуть, и это все еще решение. Вы пытались исправить смещения в одном угловом узле, чтобы устранить перемещение, и исправить одно смещение в другом углу, чтобы исключить повороты?

Однажды я попробовал этот подход, заключающийся в том, чтобы фиксировать некоторые узлы и регулировать нормальные силы в других, но, похоже, он фокусировал большое количество силы на отдельных граничных узлах, что приводило к нестабильности. В итоге получилось не пытаться привязать только несколько узлов, а привязать все узлы относительно однородной деформации. По сути, вы деформируете всю систему однородно, но затем включаете однородный компонент в локальное определение деформации в каждом узле, чтобы она не вносила никакой дополнительной упругой энергии. Вы можете прочитать больше об этом в этой статье и цитируемых ссылках: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Эта проблема неустойчивости, вероятно, является хорошей причиной для выбора конечных элементов для задач механики, когда это возможно.

Дэн
источник