Когда мы используем полиномы Бернштейна в приложении

9

Когда предпочтительнее использовать полиномы Бернштейна для аппроксимации непрерывной функции вместо использования только следующих предварительных методов численного анализа: «Полиномы Лагранжа», «Простые операторы конечных разностей».

Вопрос в том, чтобы сравнить эти методы.

Амир Хосейн Садегиманеш
источник
2
Почему БЕРНШТЕЙН пишется с заглавной буквы? Это относится к конкретному программному пакету?
3
Один из аспектов моего вопроса был почти на ваш вопрос, я хочу видеть, есть ли какое-либо преобладание, чтобы использовать этот метод вместо тех, которые были упомянуты даже в очень особенном случае? Полиномы БЕРНШТЕЙНА хороши сами по себе и обладают множеством свойств, но лучше ли их использовать, например, в компьютерной программе или в других ситуациях?

Ответы:

7

Многочлены Бернштейна и многочлены Лагранжа охватывают одни и те же пространства. Таким образом, с точки зрения возможных функций, которые можно представить, использование одной или другой не имеет значения. Однако, если вы собираетесь использовать их в качестве базисных функций в методе конечных элементов или в задаче интерполяции, спектральные свойства создаваемого вами линейного оператора будут зависеть от полиномов, выбранных вами в качестве базиса. Это может вызвать различия в сходимости итерационных решателей. Однако, при отсутствии погрешности линейной алгебры, вы получите тот же ответ, используя любой базис.

Сравнение этого с конечными разностными операторами - это отдельная история. Использование полиномов даст вам аппроксимации ошибок по непрерывной норме. Я не так хорошо разбираюсь в конечных различиях, но, насколько я понимаю, вы получите оценку ошибки только в тех местах, которые вы выбрали для дискретизации. Что происходит между этими точками, не так ясно.

Натан Кольер
источник
7

Я использую полиномы Бернштейна в методе коллокаций для решения краевых задач для ОДУ и УОП. Они довольно интересные.

Сходимость была экспоненциальной для некоторых линейных BVP, но немного медленнее по сравнению с чебышевской коллокацией, Лежандром Галеркиным и Тау.

Вот рисунок, сравнивающий скорости сходимости с некоторыми чебышевскими спектральными методами. Пример проблемы - линейный BVP:

d2udx24dudx+4u=ex+C,x[1,1]

с однородными BC Дирихле, и C является константой .C=4e/(1+e)2

введите описание изображения здесь

Я также загрузил эту фигуру на figshare .

Если вы хотите, вы можете проверить код, который я пишу:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

И вот статья из архива, которую я написал о решении эллиптических BVP на квадрате с использованием полиномиальной коллокации Бернштейна.

В прошлом году они отпраздновали столетие полиномов Бернштейна - еще один интересный факт.

Johntra Volta
источник
1
О столетии, см. Рида Т. Фаруки, Полиномиальная основа Бернштейна: столетняя ретроспектива, компьютерный геометрический дизайн , том 29, выпуск 6, август 2012, страницы 379-419, DOI: 10.1016 / j.cagd.2012.03.001 .
2013 года
2
Также интересно: Надежные вычисления - Специальный выпуск об использовании многочленов Бернштейна в надежных вычислениях: 100-летний юбилейный интервал.louisiana.edu
reliable-computing-journal/…
2
Существует некоторая теория использования полиномов Бернштейна в методе коллокаций. Когда вы переходите к нескольким пролетам (элементам), вам нужно использовать как минимум B-сплайны. См. МЕТОДЫ ИЗОГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КОЛЛОКАЦИИ F. AURICCHIO, L. BEIRÃO DA VEIGA, TJR HUGHES, A. REALI и G. SANGALLI, Математические модели и методы в прикладных науках 2010 20:11, 2075-2107C1
Натан Кольер
6

В приведенной ниже статье показано, что представление многочленов в форме Бернштейна приводит к численно устойчивым алгоритмам во многих случаях:

Р.Т. Фаруки, В.Т. Раджан, О численном условии полиномов в форме Бернштейна, Компьютерное геометрическое проектирование , том 4, выпуск 3, ноябрь 1987 г., страницы 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

LHF
источник
2

Контрольные точки кривой Безье находятся близко к кривой, но не обязательно на кривой. Это точно такая же ситуация, что и для приближения полиномами Бернштейна, и фактически полиномы Бернштейна являются основой для кривой Безье. Вы можете использовать кривую Безье высокого порядка, чтобы нарисовать плавную линию через кривую, заданную зашумленными точками, также никто не сделает этого из-за большого вычислительного усилия. Фактически, полиномиальная интерполяция высокого порядка используется очень редко именно по этой причине, только чебышевская интерполяция иногда является исключением из этого правила.

Но если мы говорим только о полиномиальной интерполяции низкого порядка, то интуитивная спецификация кривой Безье через контрольные точки является явным преимуществом перед другими методами. Тем не менее, в этом отношении NURBS даже лучше, но, по крайней мере, кривая Безье является частным случаем NURBS, и многочлены Бернштейна также являются важным компонентом для NURBS.

Томас Климпел
источник