Как интегрировать полиномиальное выражение в трехмерный 4-элементный элемент?

12

Я хочу интегрировать полиномиальное выражение для элемента с 4 узлами в 3D. Несколько книг по ВЭД охватывают случай, когда интегрирование выполняется по произвольному плоскому 4-недному элементу. Обычная процедура в этом случае состоит в том, чтобы найти матрицу Якоби и использовать ее детерминант для изменения базиса интегрирования на нормализованный, в котором у меня есть более простые пределы интегрирования [-1; 1], и квадратурная техника Гаусса-Лежандра используется легко.

Другими словами Sf(x,y) dxdy сводится к форме 1111f~(e,n) |det(J)|dedn

Но в 2D-случае я заменяю плоский произвольный элемент на квадратный, но с квадратной формой 2 на 2.

Трехмерный 4-элементный элемент не является плоским в целом, но я предполагаю, что он все еще может быть отображен с помощью 2D системы координат, которая каким-то образом связана с декартовой системой координат. Я не могу понять, как выразить {x, y, z} в терминах {e, n} и каков будет размер матрицы Якоби в этом случае (она должна быть квадратной).

2D и 3D домены

danny_23
источник

Ответы:

8

Вы интегрируете функцию на двумерном многообразии, встроенном в ; книги по анализу многообразий (например, доступная книга Мункреса или книги Ли о многообразиях) полезны при обсуждении теории, определяющей этот тип интеграла.R3

Предположим, что - это вещественная функция, определенная на многообразии M , которое является вашим 4-узловым трехмерным элементом.fM

Вы хотите рассчитать:

MfdS.

Предположим , что является функция отображения [ - 1 , 1 ] 2 до М . потомφ[1,1]2M

MfdS=[1,1]2f(φ(x,y))(det(DφT(x,y)Dφ(x,y)))1/2dxdy

DφφDφT

[1,1]2

Некоторые комментарии:

  • φ
  • Mφφ
Джефф Оксберри
источник
det(DφT(x,y)Dφ(x,y))=0
3
DφDφTDφ
2
Джефф, это правильно. Я поместил простую общую формулу плюс разработанный пример здесь: теоретический-
physics.net/dev/src/math/integration.html