Как интегрировать полиномиальное выражение в трехмерный 4-элементный элемент?

Я хочу интегрировать полиномиальное выражение для элемента с 4 узлами в 3D. Несколько книг по ВЭД охватывают случай, когда интегрирование выполняется по произвольному плоскому 4-недному элементу. Обычная процедура в этом случае состоит в том, чтобы найти матрицу Якоби и использовать ее детерминант для изменения базиса интегрирования на нормализованный, в котором у меня есть более простые пределы интегрирования [-1; 1], и квадратурная техника Гаусса-Лежандра используется легко.

Другими словами $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ сводится к форме $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Но в 2D-случае я заменяю плоский произвольный элемент на квадратный, но с квадратной формой 2 на 2.

Трехмерный 4-элементный элемент не является плоским в целом, но я предполагаю, что он все еще может быть отображен с помощью 2D системы координат, которая каким-то образом связана с декартовой системой координат. Я не могу понять, как выразить {x, y, z} в терминах {e, n} и каков будет размер матрицы Якоби в этом случае (она должна быть квадратной).

Вы интегрируете функцию на двумерном многообразии, встроенном в ; книги по анализу многообразий (например, доступная книга Мункреса или книги Ли о многообразиях) полезны при обсуждении теории, определяющей этот тип интеграла.$\mathbb{R}^{3}$

Предположим, что - это вещественная функция, определенная на многообразии M , которое является вашим 4-узловым трехмерным элементом.$f$$\mathcal{M}$

Вы хотите рассчитать:

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$$

Предположим , что является функция отображения [ - 1 , 1 ] 2 до М . потом$\varphi$$[-1,1]^{2}$$\mathcal{M}$

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$$

$\mathrm{D}\varphi$$\varphi$$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

$[-1,1]^{2}$

Некоторые комментарии:

• $\varphi$
• $\mathcal{M}$$\varphi$$\varphi$